集合の問題です。

質問

直積集合の問題です。
次の命題を証明したいのですが…教えてください！！

命題：ＡをＸの部分集合、ＢをＹの部分集合とすれば、等式
（Ｘ×Ｙ）－（Ａ×Ｂ）＝（（Ｘ－Ａ）×Ｙ）∪（Ｘ×（Ｙ－Ｂ））
が成り立つ。

この証明をしてください。お願いします！！

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

#1,#2の方は勘違いされているようです。おそらく、×と∩を混同しているのでしょう。
X×Y=(A×B)∪((X-A)×B)∪(A×(Y-B))∪((X-A)×(Y-B))
としたとき右辺がディスジョイントつまり共通部分がないような和集合になっていることに気をつけてください。
一方
X×(Y-B)=(A×(Y-B))∪((X-A)×(Y-B))
(X-A)×Y=((X-A)×B)∪((X-A)×(Y-B))
なので両辺をよく見てみるとわかるかと思います。

回答No.2

pocariblue

＃１の者です。
次のように訂正させて下さい。

［　解答例　]
Ａの補集合をＣ、Ｂの補集合をＤ、（ＡｘＢ）の補集合をＥとする。

ド・モルガンの法則より、
Ｅ＝Ｃ Ｕ Ｄである。

Ｘ－Ａ＝ＸｘＣ，Ｙ－Ｂ＝ＹｘＤと表すことができるので、
同様にして、左辺は次のように変形できる。

左辺＝（ＸｘＹ）－（ＡｘＢ）
＝（ＸｘＹ）ｘ　Ｅ
＝（ＸｘＹ）ｘ（Ｃ Ｕ Ｄ）
＝（ＸｘＹｘＣ）Ｕ（ＸｘＹｘＤ）
＝（（ＸｘＣ）ｘＹ）Ｕ（Ｘｘ（ＹｘＤ））
＝（（Ｘ－Ａ）ｘＹ）Ｕ（Ｘｘ（Ｙ－Ｂ））
＝右辺

回答No.1

pocariblue

酔い覚ましに、トライさせて頂きます。

AがXの部分集合、BがYの部分集合なので、
A = (A x X), B = (B x Y)　というのがポイントです。

［ 回答例 ］

((X - A) x Y) = (X x Y) - (A x Y)
(X x (Y - B)) = (X x Y) - (X x B)

上記の２式より、
((X - A) x Y) と (X x (Y - B)) の和集合は、
(X x Y) - ((A x Y) x (X x B)) と表すことができる。

右辺 = ((X - A) x Y) U (X x (Y - B))
= (X x Y) - ((A x Y) x (X x B))
= (X x Y) - ((A x X) x (Y x B))
= (X x Y) - (A x B)
= 左辺