位相 可算集合

質問

Xを非可算集合とし、AをXの可算な部分集合とする。このとき、XとX－Aが対等であるときを証明せよ。

この問題の解答と経過を教えてください！！
おねがいします！！

回答No.2

rinkun

証明手順のヒントだけ
１．B⊆X－Aとなる可算部分集合Bが取れる
２．A∪BとBは対等である
３．２を利用してXからX－Aへの全単射を作成できる

回答No.1

funoe

おおよその流れは、、

X-Aは非可算集合なので、・・・・（要証明）
可算部分集合Ｂ⊂(X-A)がとれる。・・・・（要証明）
ＡもＢも可算集合なのでＡ∪Ｂも可算集合　　・・・（要証明？）
従って、（Ａ∪Ｂ）～Ｂであり、
（Ａ∪Ｂ）からＢへの全単射ｆが存在する。　　・・・（要証明？）

いま、
Ｆ：Ｘ→（Ｘ－Ａ）　を
　　ｘ→f(x)　x∈（Ａ∪Ｂ）
　　ｘ→ｘ　　それ以外
とすれば、ＦはＸ→（Ｘ－Ａ）の全単射。