集合と位相

質問

集合と位相の質問です。
よろしくお願いします。

X,Y⊂R^nとする。

１、X,Yが開集合のとき、X×Yが開集合であることを示せ。

２、X,Yが閉集合のとき、X×Yが閉集合であることを示せ。

３、X,Yがコンパクト集合のとき、X×Yがコンパクト集合であることを示せ。

回答No.1

muturajcp

p1:R^{2n}→R^n,p1(x,y)=x
p2:R^{2n}→R^n,p2(x,y)=y
のように
p1,p2をR^{2n}からR^nへの射影とすると
R^{2n}の位相はp1,p2が連続となるような
最弱な位相として定義される

1
XがR^nの開集合のとき,
射影p1が連続だから
p1^{-1}(X)=X×R^n
はR^{2n}の開集合となる
YがR^nの開集合のとき,
射影p2が連続だから
p2^{-1}(Y)=R^n×Y
はR^{2n}の開集合となる
開集合の共通部分は開集合だから
p1^{-1}(X)∩p2^{-1}(Y)=(X×R^n)∩(R^n×Y)=X×Y
はR^{2n}の開集合である

2
XがR^nの閉集合のとき,
射影p1が連続だから
p1^{-1}(X)=X×R^n
はR^{2n}の閉集合となる
YがR^nの閉集合のとき,
射影p2が連続だから
p2^{-1}(Y)=R^n×Y
はR^{2n}の閉集合となる
閉集合の共通部分は閉集合だから
p1^{-1}(X)∩p2^{-1}(Y)=(X×R^n)∩(R^n×Y)=X×Y
はR^{2n}の閉集合である

3
Bを任意の有限交叉性を持X×Yの部分集合系とする
Ω={W|WはBを含む有限交叉性を持つX×Yの部分集合系}とする
Ωは帰納的な(⊂を順序とする)順序集合だから
Ωは極大元を持つから
Ωの極大元の1つをWとすると
W'は有限交叉性を持ち{A|A⊂X×Y}⊃W'⊃W⊃B→W'=W
Wは有限交叉性を持つX×Yの極大な部分集合系
だから
{F1,F2}⊂Wに対して→F1∩F2∈W…………(1)
X×Y⊃VがすべてのF∈Wに対してF∩V≠φならばV∈W…(2)
となる
p1(W)={p1(F)|F∈W}
p2(W)={p2(F)|F∈W}
とすると
p1(W),p2(W)は有限交叉性を持つ
Xがコンパクトだから
{cl(p1(F))=(p1(F)の閉包)とすると}
∩_{F∈W}cl{p1(F)}≠φ
Yがコンパクトだから
∩_{F∈W}cl{p2(F)}≠φ
E=∩_{F∈W}cl{p1(F)}×∩_{F∈W}cl{p2(F)}
x1∈∩_{F∈W}cl{p1(F)}
x2∈∩_{F∈W}cl{p2(F)}
x=(x1,x2)∈E
とすると直積位相の定義から
xの任意の近傍Vに対して
p1^{-1}(V1)∩p2^{-1}(V2)⊂V
となるような
x1の近傍V1と,x2の近傍V1がある
任意のF∈Wに対して
V1∩p1(F)≠φ
V2∩p2(F)≠φ
p1^{-1}(V1)∩F≠φ
p2^{-1}(V2)∩F≠φ
(2)から
p1^{-1}(V1)∈W
p2^{-1}(V2)∈W
(1)から
p1^{-1}(V1)∩p2^{-1}(V2)∈W
V∩F≠φ
x∈cl(F)
x∈∩_{F∈W}cl(F)≠φ
∩_{F∈B}cl(F)⊃∩_{F∈W}cl(F)≠φ
∩_{F∈B}cl(F)≠φ
∴
X×Yはコンパクトである