原子核と崩壊について

質問

-dN=λNdtを積分してt=0における親元素の数をN(0)とすると、N=N(0)e^(-λt)が成り立ちます。
そこで、
核崩壊において、平均寿命はτ=1/λとなるのですが、 なぜ、τ=｛∮(0→∞)te^(-λt)dt｝/｛∮(0→∞)e^(-λt)dt｝の計算の結果が平均寿命といえるのでしょうか？
この計算の意味を教えていただきたいです。

回答No.3

Tann3 · ベストアンサー

No.1です。補足に書かれたことについて。

＞教科書で、平均寿命τ=｛∮(0→∞)te^(-λt)dt｝/｛∮(0→∞)e^(-λt)dt｝=1/λと書いてあるのですが、この積分は一体どこからやってきたのかということです。

　この式そのものについては、その意味するところは次のような感じでしょうか。

（１）分母の　｛∮(0→∞)e^(-λt)dt｝　は、結局「１／λ」ですよね？　
　　本当は、ｔ=0～∞の間に崩壊する原子核の総数　N(0)　を出したいので、　λN(0) をかけて、

　　　λ｛∮(0→∞)N(t)dt｝　＝　λN(0)｛∮(0→∞)e^(-λt)dt｝　＝　N(0)

と書いた方が分かりやすいと思います。

（２）分母を（１）のようにすると（ご指定の式に　λN(0)　がかかる）、分子は

　　λN(0)｛∮(0→∞)t・e^(-λt)dt｝　＝　｛∮(0→∞)t・λN(t)dt｝

と書けます。
　λN(t)　は、時刻 t に崩壊する原子核の数です（一番最初の微分方程式）。これに時刻 t をかけているということは、寿命 t で崩壊する原子核の数に、寿命 t をかけている、ということです。

　人間の平均寿命を計算するときでも、ｘ歳で死亡する方の人数N(x)に死亡年齢 x をかけて、これを全年齢で加算して、全人数で割って

　　　　Σ（ｘ・N(x)）／Σ（N(x))

で計算しますよね？　この　Σ（ｘ・N(x)）　と同じ計算を、分子でしているということです。

（３）以上から、

・分子では、寿命 t に、 寿命 t で崩壊する原子核の数をかけて、全時間で積分している。これは、人間の平均寿命計算で、死亡年齢と、その年齢で死亡した人数をかけて、全年齢で積算するのと同じ。

・分母では、崩壊した全原子核数を計算している。これは、人間の平均寿命計算で、死亡した人の総数を計算しているのと同じ。

ということで、人間の平均寿命計算と同じような、一種の「寿命の期待値」を計算している、ということです。

回答No.2

Tacosan

分子や分母にある和が積分にかわっただけで, 本質はその「平均寿命」と同じ計算です.

τ = ∫t[λe^(-λt)]dt
と書いた方がいい?

回答No.1

Tann3

原子核の数が１／２になる時間を「半減期」と言います。「１／２になる」ということで、その定義は何の疑問もなく理解できますね。

　Ｎ(t)＝（１／２）N(０)
となる t を求めればよく、

　半減期＝　ｌｎ２／λ　≒　0.693／λ

となります。

　それでは、平均寿命：τ=1/λ は？
　「原子核の数が １／e になる時間」ということです。

　何故？　ということではなく、そう定義したのです。

　平均寿命＝　ｌｎ(e)／λ　＝　1／λ　≒　半減期／0.693

ということです。

　「半減期」と「平均寿命」は、定義が異なるだけで、同じ意味合いの数値ということです。

補足

半減期と、平均寿命の意味は理解できました。ありがとうございます。もう一つ聞きたいのは、教科書で、平均寿命τ=｛∮(0→∞)te^(-λt)dt｝/｛∮(0→∞)e^(-λt)dt｝=1/λと書いてあるのですが、この積分は一体どこからやってきたのかということです。3人の人、それぞれの寿命か90,85,95歳だとすると、平均寿命は(90+85+95)÷3 ですよね、この積分において、なぜte^(-λt)の定積分をe^(-λt)の定積分で割るという計算を通して、平均寿命がでるのかということです。もしこれが、一つ一つの崩壊時間の和/元々の原子核の数という意味になっていないと思うのです。