区分求積法を用いる問題と積分方程式の問題について

質問

区分求積法を用いる問題と積分方程式の
問題について教えていただきたいです。

lim_(n→∞){n/(n+2)^2+n/(n+4)^2+...n/(n+2n)^2}

f(x)＝3xe^x+e^(-x)∫_0^x f(t) e^t dt

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞lim_(n→∞){n/(n+2)^2+n/(n+4)^2+...n/(n+2n)^2}
＝lim_(n→∞)｛（n/n^2）／（１＋2/n）^2｝＋｛（n/n^2）／（１＋4/n）^2｝＋……
　　　　　　　　　……＋｛（n/n^2）／（１＋2n/n）^2｝
＝lim_(n→∞)（1/n）・｛１／（１＋２・(1/n)）^2＋１／（１＋２・(2/n））^2＋……
　　　　　　　　　……＋１／（１＋２・(n/n)）^2｝
＝∫［０～１］｛１／（１＋２ｘ）^2｝ｄｘ
＝∫［０～１］（１＋２ｘ）^(-2)ｄｘ
＝－１・(1/2)［（１＋２ｘ）^(-1)］［０～１］
＝１／３

＞f(x)＝3xe^x+e^(-x)∫_0^x f(t) e^t dt ……（＊）
上の式から、
ｆ（ｘ）－e^(-x)∫_0^x f(t) e^t dt＝３ｘｅ^x　……（１）
（＊）をｘで微分して、
ｆ'（ｘ）＝３（１・ｅ^x＋ｘ・ｅ^x）－ｅ^(-x)・∫_0^x f(t) e^t dt＋ｅ^(-x)・ｆ（ｘ）ｅ^x
＝３（ｘ＋１）ｅ^x－ｅ^(-x)・∫_0^x f(t) e^t dt ＋ｆ（ｘ）
＝３（ｘ＋１）ｅ^x＋ｆ（ｘ）－ｅ^(-x)・∫_0^x f(t) e^t dt
（１）を代入して、
ｆ'（ｘ）＝３（ｘ＋１）ｅ^x＋３ｘｅ^x＝３（２ｘ＋１）ｅ^x
積分すると、
ｆ（ｘ）＝∫３（２ｘ＋１）ｅ^xｄｘ
部分積分より、ｇ'＝ｅ^x，ｇ＝ｅ^x，ｈ＝２ｘ＋１，ｈ'＝２から、
＝３｛（２ｘ＋１）ｅ^x－２∫ｅ^xｄｘ｝
＝３｛（２ｘ＋１）ｅ^x－２ｅ^x｝＋Ｃだから、
ｆ（ｘ）＝３（２ｘ－１）ｅ^x＋Ｃ
これから、ｆ（０）＝３・（－１）・ｅ^0＋Ｃ＝－３＋Ｃ
（＊）より、ｆ（０）＝０＋e^(-0)∫_0^0 f(t) e^t dt ＝０だから、
－３＋Ｃ＝０より、Ｃ＝３
よって、ｆ（ｘ）＝３（２ｘ－１）ｅ^x＋３

のようになりました。計算を確認してみて下さい。

お礼

回答有難う御座いました。丁寧な回答とても助かりました。

回答No.1

ereserve67

高校数学IIIの問題ですね．

最初は

Σ_{k=1}^nn/(n+2k)^2=Σ_{k=1}^n(1/n)/(1+2k/n)^2→∫_0^1dx1/(1+2x)^2

定積分の練習問題です．

次は

f(0)=0

f(x)e^x=3xe^{2x}+∫_0^xf(t)e^tdtと書きなおし微分するとf'(x)=3e^x+6xe^x

∴f(x)=∫_0^x(3e^t+6e^t)dt

これも定積分の練習問題です．

お礼

回答有難う御座いました。