たびたびすみません。 半減期

質問

安定状態にない粒子（例えば放射性原子核）の個数が1/2に
減少するまでの時間を半減期という。
崩壊定数λと半減期t(1/2)との関係を導け。
という問題です。

答え　時刻ｔに存在する同位体の個数をN(t)とする。
Δtを十分に小さくとれば、その間の崩壊数はN(t)とΔtの
両方に比例するから、比例定数をλとして、
N(t)-N(t+Δt)=λN(t)Δt　　と書ける。
-{N(t+Δt)-N(t)}/Δt=λN(t)
-{dN(t)}/dt=λN(t)
{dN(t)}/dt=-λN(t)

の後がよくわかりません。
大学の期末試験の問題です。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

noname#57316

崩壊定数は、放射性原子核一個が単位時間に崩壊する割合
[-{dN(t)}/dt]/N(t)=λ
と定義されます。
これから、-d[ln{N(t)}]/dt=λ
この式を、ｔ=0からt=T(1/2)（つまり半減期）まで、tで積分すると
T=0の時の放射性原子核の数を、N(0)として
ln{N(0)}-ln[N{T(1/2)}]=λ・T(1/2)
左辺は、半減期の定義によって、ln[N(0)/N{T(1/2)}]=ln(2)
∴λ・T(1/2)=ln(2)≒0.693
従って、λ=ln(2)/T(1/2)、
近似的には、λ=0.693/T(1/2)

回答No.2

kiku007

この後は数学の解法と同じく処理すればよいでしょう。

両辺にdt/N(t)を掛けて定積分する。

[∫(1/N) dN ]=[∫(-λ)dt]

定積分する際の条件
　左辺　N=N(0)　から　N(0)/2
右辺　ｔ＝0 から　t(1/2)　<==半減期
これより崩壊定数λと半減期t(1/2)との関係が求まります。

回答No.1

Tacosan

その微分方程式を解くと N(t) = ～ という式が出てきて, N(t) / N(0) = 1/2 となることから t と λの関係を求める.