ベクトルの積分

質問

r↑はtの関数、r=|r↑|、nは実定数として次の積分をせよ。
∫[(1/r^n)(dr↑/dt)-{n/r^(n+1)}(dr/dt)r↑]dt

この問題はどのように解けばいいのでしょうか？
ベクトルの微分ならなんとなくチェーンルールでできるのですが積分は…どうすればいいのでしょうか。
勘でr↑/r^nをtで微分したら被積分関数になったので答えはわかるのですが、さすがに答えとそれを微分しただけではだめですよね。
教えてください。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

全く問題ないと思いますが。積分てそういうもの・・・気がする（例えば2xの積分がx^2なのは微分からわかったはず）。

あとはばればれの項を少しまとめて
[(1/r^n)(dr↑/dt)+{(d/dt)(1/r^n)}r↑
これを積の微分公式で見れば多少は？

お礼

回答ありがとうございます。
＞[(1/r^n)(dr↑/dt)+{(d/dt)(1/r^n)}r↑
これでなんとなくわかりました。
そうですね。積分って～だからこうなる、っていうより、微分してこうだからこうなるっていう以外ないですもんね。
ありがとうございました。

回答No.1

info22

ヒントのみ
ベクトルの積分は、座標系の各変数ごとの単位ベクトル（直交ベクトル）の成分にベクトルを分解して、各成分ごとに積分することがベクトルの積分の基本だと思います。

積分を(x,y,x)座標系でするか、極座標系(r,θ,φ)でするか、円筒座標系(r,θ,z)でするか、によって単位ベクトルが異なります。
(r↑/r)は極座標系のr方向の単位ベクトルです。

積分の計算自体は自信がありませんので他の方に譲ります。
独力でできるなら、座標系の方向成分に分けて、成分ごとに、積分してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとか解けました。