微分方程式の演習問題がわかりません。

質問

この途中式がわからないくて困っています。

栄養培養基中で細菌が無制限に繁殖し得るものとすれば、細菌の繁殖率dN／dtは各瞬間tに存在する細菌の数Nに比例（比例定数a）する。
t＝０の時、N＝N０として、時刻tにおけるNの数を求めよ。

この答えはN＝N０e^at（N=N０eのat乗）なのですが、途中式がわかりません。
困っているので教えてくださるととてもたすかります。

回答No.1

gohtraw

問題文より、
ｄＮ／ｄｔ＝ａＮ
変数分離して
（１／Ｎ）ｄＮ＝ａ・ｄｔ
両辺を積分して
ｌｎ（Ｎ）＝ａｔ＋Ｃ　（ｌｎは自然対数、Ｃは積分定数）
ｔ＝０のときＮ＝Ｎ０なのでこれらを代入して
ｌｎ（Ｎ０）＝Ｃ
よって
ｌｎ（Ｎ）＝ａｔ＋ｌｎ（Ｎ０）
ｅ＾（ｌｎ（Ｎ））＝ｅ＾（ａｔ＋ｌｎ（Ｎ０））
Ｎ＝Ｎ０・ｅ＾（ａｔ）