ガンマ関数について

質問

ガンマ関数 Γ(x) = ∫(0→∞) y^(x－1)e^(－y) dy, x > 0 について,
(i) 任意の自然数 n に対し, 次の不等式が成立する事を示せ.
∫ (1→0) (1 － t^2)^ndt < ∫ (0→∞)e^－nt2dt =(1/2√n)Γ(1/2) <∫ (0→∞)(1 + t^2)^－ndt

これの解き方が知りたいです
丁寧に書いてもらえると助かります

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

x≠0 ⇒ eˣ ＞1+x
∴exp(x²)＞1+x²
∴1-x²＜exp(-x²)＜1/(1+x²)
(1-x²)ⁿ＜exp(-nx²)＜1/(1+x²)ⁿ
∫[0,1](1-x²)ⁿdx＜∫[0,1]exp(-nx²)dx＜∫[0,∞]exp(-nx²)dx＜∫[0,∞]{1/(1+x²)ⁿ}dx

∴∫[0,1](1-x²)ⁿdx＜∫[0,∞]exp(-nx²)dx＜∫[0,∞]{1/(1+x²)ⁿ}dx