- ベストアンサー
多項式の存在の証明です。
多項式に関する証明です。 0を含む自然数 n に対して, n+2次の実多項式 P_n で P_n(0)=P_n(1)=0 0≦ｒ≦ｎ-1 のとき, ∫t^r P_n(t)ｄｔ＝0 積分区間は[0,1] ∫t^n P_(t)dt=1 積分区間は[0,1] を満たすものが存在することを示せ。という問題です。 ｔ^r はt の r 乗を意味しています。 帰納法を用いて示してみようと思ったのですが,次数がずれてしまってうまくいきませんでした。 ご教授よろしくお願いします。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
n+2次の多項式には、定数項を含めて n+3 個の係数があります。一方、与えられた条件は、n+3 個で、すべてこれらの係数の１次式で表されます。そこで、問題は、これらの係数を未知数とする n+3 元１次方程式を解くことに帰着されます。あとは、n+3 個の条件が一次独立であることを示せばよろしい。
お礼
なるほど！ 一時独立であることは容易に確かめられたのでできました！ こういったものを自分で思いつけるようになりたいです... ありがとうございます。