この微分方程式がわかりません。

質問

分からなくて困っています。
途中おしえてください！

放射性元素は時刻tに存在する原子の数Nに比例する速度で崩壊する。
崩壊して新しい放射性元素を生成する場合、時刻tにおける生成物質の原子の数をMとすれば、
dN/dt=-λN, dM/dt=-μM+λNとなる。
ここで、λ及びμは各々もとの物質及び生成物質の崩壊定数である。
時刻tにおける崩壊物質と生成物質の原子の数を求めよ。
また、生成物質の原子の数が極大になるのはいつか。

答えは、M=λN0(e^-λt-e^-μt)/(μ-λ),　t=(logλ-logμ)/(λ-μ)
難しくて、わからなく、困っています。
よろしくおねがいします！

回答No.2

drmuraberg

簡単にあらすじを

第一の式から N=No*exp(-λt)

第二の式は
dM/dt + μM=Q(t)　　　　　Q(t)= λNo*exp(-λt)
この一般解は
M=exp(-μt){∫exp(μt)*Q(t)dt + C}

λ= μの時に積分は簡単になり、
M(0)=0 の条件よりCを求め、整理すると
M=λNo*t*exp(-λt)　　　　　　　　　　　　　(1)
λ≠μの時は積分し、M(0)=0 の条件よりCを求め、整理すると
M=λNo｛(exp(-λt) – exp(-μt))/(μ-λ)　　　　　　(2)
です。

t=(logλ-logμ)/(λ-μ) 　は(2)式が極大となるtの値。
(1)式のtの値は別に解きます。

回答No.1

Tacosan

まさか, 最初からまったくわからないなんてことはないよね? どこまでできて, どこで困ってるの?

あと, その「答え」って, μ = λ のときに困らない? まあ, 状況からそんなことはないと思うけど....