恒等式の係数決定の問題の解き方がわかりません。

質問

答えは分かりますが、問題の解き方がわかりません。
お願いしますm(_　_)m
（1）a=1　b=0　c=-4
（2）a=2　b=4　c=3
（3）a=3　b=12　c=2

回答No.2

shuu_01

答えは No.1 さんの通りです

でも、回答を見る前に恒等式の解き方を勉強してから
問題を解いてみて下さい

§１　数　と　式
６ 恒等式
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/kotosiki/kotosiki.htm

に　「係数比較法」，「数値代入法」　の２つの解き方が説明されています

回答No.1

info22_

恒等式であるための必要十分条件は「左辺と右辺のxの各次の係数がそれぞれ等しい。」ことである。
なので

(1)
恒等式の必要十分条件から

左辺と右辺のxの２次の係数が等しい　⇒　1=a ...(A)
左辺と右辺のxの１次の係数が等しい　⇒　2=2a+b ...(B)
左辺と右辺のxの０次の係数(定数項)が等しい　⇒　-3=a+b+c ...(C)

(A),(B),(C)の３つの式が同時に成り立つ。
1=a ...(A)
2=2a+b ...(B)
-3=a+b+c ...(C)

これらの３式をa,b,cの連立方程式として解くと

　a=1, b=0, c=-4　... (答)

(2)
右辺=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(b-2a)x+(a-b+c)
であるから、与式は

2x^2+1=ax^2+(b-2a)x+(a-b+c) ...(A)

と変形できる。

(A)も恒等式であるから、恒等式の必要十分条件を適用すれば

　2次の係数：　2=a ...(B)
　1次の係数：　0=b-2a　...(C)
　0次の係数：　1=a-b+c ...(D)

(B),(C),(D)が同時に成り立つから、a,b,cの連立方程式として解けば

　a=2, b=4, c=3 ...(答)

(3)
右辺=x^2-4+c(x^2+6x+9)=(1+c)x^2+6cx+9c-4

したがって与式は次式に変形できる。

　ax^2+bx+14=(1+c)x^2+6cx+9c-4 ...(A)

(A)がxについて恒等式であるための必要十分条件から

　2次の係数：　a=1+c ...(B)
　1次の係数：　b=6c　...(C)
　0次の係数：　14=9c-4...(D)

(B),(C),(D)が同時に成り立つから、a,b,cの連立方程式として解けば

　c=2, b=12, a=3 ...(答)