問題の解き方を教えてください！

質問

問題と答えは知っているのですが、解き方が分かりません！
誰か教えてください。
お願いします。
＜Ｐ.Ｓ＞
答えは[]で囲ってあります。

＜問題１＞
　　１辺の長さＡの正八面体に内接する球の半径は　[　√６/６×Ａ　]　である。

＜問題２＞
　　１/Ａ + １/Ｂ + １/Ｃ = １ を満たす正の整数（Ａ，Ｂ，Ｃ）の組は全部で　[　１０　]　組である。
　　そのうち、Ａ＜Ｂ＜Ｃを満たすものは　Ａ＝[　２　]、Ｂ＝[　３　]、Ｃ＝[　６　]　である。

＜問題３＞
　　関数　Ｙ＝ー（x²ー４ｘ＋１）（x²ー４ｘ＋２）は、x²ー４ｘ＝ｔ　とおくことにより　
　　ｘ　＝　[　４±√１０/２　]　のとき最大値　[　１/４　]　をとる。

＜問題４＞
　　５人座れる円形テーブルが２つある。ここにＡ、Ｂ、Ｃの３人がくじ引きで座る。

　　　　(1)Ａ、Ｂ、Ｃの３人が同じテーブルに座る確率は　[　１/６　]である。　　
　　　　(2)Ａ、Ｂの２人が同じテーブルで隣り合せに座る確率は　[　２/９　]である。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞＜問題２＞
＞　　１/Ａ + １/Ｂ + １/Ｃ = １ を満たす正の整数（Ａ，Ｂ，Ｃ）の組は全部で　[　１０　]　組である。
＞　　そのうち、Ａ＜Ｂ＜Ｃを満たすものは　Ａ＝[　２　]、Ｂ＝[　３　]、Ｃ＝[　６　]　である。

後半の方から考えていきます。０＜Ａ＜Ｂ＜Ｃだから、１＞１／Ａ＞１／Ｂ＞１／Ｃ＞０
３／Ａ＞１／Ａ＋１／Ｂ＋１／Ｃ＝１より、３＞Ａだから、Ａは、１か２
１＝１／Ａ＋１／Ｂ＋１／Ｃ＞３／Ｃより、Ｃ＞３だから、Ｃは、３より大きい。
これから、Ｂ＝３
Ａ＝１のとき、１/Ａ + １/Ｂ + １/Ｃが１を越えてしまうので不適。Ａ＝２
Ａ＝２，Ｂ＝３，Ｃ＝４，５のとき、１にならないので不適
Ａ＝２，Ｂ＝３，Ｃ＝６のとき、１／２＋１／３＋１／６＝１２／１２＝１だから、
答えは上の通り。
大きさの順を考えなければ、（２，３，６）になる組は、３！＝６通り
このほかに（２，４，４）になる組が３通り，（３，３，３）が１通り
よって、正の整数（Ａ，Ｂ，Ｃ）の組は、６＋３＋１＝１０通り

＞＜問題１＞
＞　１辺の長さＡの正八面体に内接する球の半径は　[　√６/６×Ａ　]　である。
正八面体の上半分の正四角錐の部分について考えます。
底面が１辺Ａの正方形，側面が１辺Ａの正三角形です。
頂点をＯ，底面の対角線の交点をＨ，１つの側面の底辺の中点をＭとします。
正四角錐の高さはＯＨです。だから、△ＯＭＨは直角三角形、
底面の正方形の頂点の１つをＢとすると、△ＯＢＨも直角三角形です。
ＯＢ＝Ａ，ＢＨ＝正方形の対角線の半分＝√２Ａ／２
ＯＨ^2＝ＯＢ^2－ＢＨ^2＝Ａ^2－(1/2)Ａ^2＝(1/2)Ａ^2より、ＯＨ＝√２Ａ／２
ＯＭ＝正三角形の高さ＝√３Ａ／２，　ＨＭ＝正方形の１辺の半分＝Ａ／２
△ＯＭＨで、ＨからＯＭにひいた垂線が、内接する球の半径になります。
半径ｒとし、垂線とＯＭの交点をＩとすると、ＨＩ＝ｒ
△ＨＭＩ相似△ＯＭＨ（２つの角が等しい）だから、
ＨＩ：ＯＨ＝ＨＭ：ＯＭより、
ｒ：√２Ａ／２＝Ａ／２：√３Ａ／２
（√３Ａ／２）・ｒ＝（√２Ａ／２）・（Ａ／２）
よって、内接する球の半径は、
ｒ＝（√２Ａ／２）・（Ａ／２）・（２／√３Ａ）＝Ａ／√６＝√６Ａ／６

説明が面倒だったので、問題１を後回しにしました。
図を描いて確認してみて下さい。

問題が多すぎるので、１～２問ずつに分けて提示した方がいいと思います。

お礼

次回から、アドバイス通り１～２問にします。
回答ありがとうございました。

回答No.2

ferien

＞＜問題４＞
＞　　５人座れる円形テーブルが２つある。ここにＡ、Ｂ、Ｃの３人がくじ引きで座る。
くじは１０本で、テーブル１用が５本，テーブル２用が５本あるとする。
＞(1)Ａ、Ｂ、Ｃの３人が同じテーブルに座る確率は　[　１/６　]である。
３人ともテーブル１に座るとすると、確率は
（５／１０）×（４／９）×（３／８）＝１／１２　テーブル２の場合も同じだから、
よって、求める確率は、２×（１／１２）＝１／６　　

＞(2)Ａ、Ｂの２人が同じテーブルで隣り合せに座る確率は　[　２/９　]である。
Ａ，Ｂ２人が同じテーブルに座る確率は、
２×（５／１０）×（４／９）＝４／９
円形テーブルへの５人の座り方は、（５－１）！＝４！通り
Ａ，Ｂが隣り合わせになる座り方は、
Ａ，Ｂを１まとめにして４人と考えて、（４－１）！＝３！
Ａ，Ｂの入れ替えもあるから、２×３！通り
隣り合わせに座る確率は、２×３！／４！＝１／２
よって、求める確率は、（４／９）×（１／２）＝２／９

＞＜問題３＞
＞　関数　Ｙ＝ー（x²ー４ｘ＋１）（x²ー４ｘ＋２）は、x²ー４ｘ＝ｔ　とおくことにより　
＞　ｘ　＝　[　４±√１０/２　]　のとき最大値　[　１/４　]　をとる。
ｔ＝ｘ^2－４ｘ
＝（ｘ^2＋４ｘ＋４）－４
＝（ｘ－２）^2－４
ｘ＝２のとき、最小値－４だから、ｔの範囲は、ｔ≧－４
ｙ＝－（ｔ＋１）（ｔ＋２）
＝－（ｔ^2＋３ｔ＋２）
＝－（ｔ^2＋３ｔ+9/4）+9/4－２
＝－（ｔ＋3/2）^2＋1/4
ｔ≧－４だから、ｔ＝－３／２のとき、最大値１／４
このとき、ｘ^2－４ｘ＝－３／２から、
２ｘ^2－８ｘ＋３＝０より、
ｘ＝（４±√１０）／２

計算を確認して下さい。

お礼

問１～４まで、すべて回答して頂いて感謝しています。
２度も回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

順に
1: 一辺の長さが √2 のとき内接球の半径は 1/√3 になる.
2: とりあえず A≦B≦C を仮定して組み合わせを考えてから順序をいれかえて考える.
3：t の 2次関数になることから t の範囲を考えつつふつ～に最大化.
4：地道に数える.

お礼

回答ありがとうございました。