どなたかこの問題の解き方を教えてください

質問

下記の問題を友人から質問され、一緒に考えてみましたが、どうしても回答までたどり着けません。

どなたか解き方を教えてください、お願いします。

（問題）
大型、中型、小型のバスが全部で１６台ある。乗車定員の比は順に「７：３：２」であり、

この時、中型、小型のバスの台数をおのおの３倍にすると、総乗車定員は２倍になる。

現在、中型バスは何台あるか？

○バスの台数を「a,b,c」として下記のように途中まで解きました。

a+b+c=16 (1)

7a+3×3b+3×2c=2×(7a+3b+2c)
=7a-3b-2c　　　(2)

(1)を(2)に代入して
7(16-b-c)-3b-sc=10b+9c-112

整理して
　　　　10b+9c=112
以下
？？？？？ ?

ここまで解いて回答までたどり着けず、解説を見ましたが
答えしかのっておらず、解き方がわかりません。

どなたか解き方教えてください。

※ちなみに答えは４です。

回答No.2

boketanuki

a+b+c=16…(1)
7a+3×3b+3×2c=2×(7a+3b+2c)…(2)
ここまでは解き方は一緒ですね。
あと条件としては台数はマイナスにも少数にもならないので
「a,b,cは以下の条件を満たす整数　0≦a≦16　0≦b≦16　0≦c≦16」…(3)
というものがあります。
(2)を変形して
7a+9b+6c=14a+6b+4c
3b+2c=7a
a=(3b+2c)/7…(2)’
(2)’を(1)に代入して
(3b+2c)/7+b+c=16
10b+9c=112
b=(112-9c)/10…(4)
0≦c≦16を満たす整数cを(4)に代入してbが0≦b≦16を満たす整数となるのは
c=8のみ。（9を0～16倍して1の位が2になるのは9×8=72のときだけ）
よってc=8
b=(112-9×8)/10=4
(2)’よりa=(3×4+2×8)/7=4
以上より
大型バス：4台
中型バス：4台
小型バス：8台　となります。

お礼

大変ご親切な解説、誠にありがとうございます。
解説を拝見させて頂き、自分では（３）の条件が思いつかず、
この問題が解けなかったとわかりました。
この条件を踏まえて自分の考え方と照らし合わせて、
改めてこの問題の解き方を完全に理解することが出来ました。

本当にわかりやすい解説、ありがとうございました。

回答No.1

tsuyoshi2004

＞10b+9c=112

bもcも０以上の整数です。
9に整数をかけて下一桁が2になるのは、8,18・・・・です。
a+b+c=16
なので、c=8です。
従って、
112-72=10b
よって、b=4です。

お礼

迅速なご回答、大変ありがとうございます！！
はじめて質問させて頂いたので、こんなに早く回答が
来ると思わず、大変驚きました。
そして、簡潔で大変わかりやすく、とても助かりました。

友人の弟に質問され、１０年以上ぶりに数学の問題を解く機会だったので
全く頭が回らず、友人と二人ずっと考えてました・・・

本当にありがとうございました。