対称式の問題ですが・・・

質問

abc≠0 　, a+b+c=0 , a^2+b^2+c^2=1 , bc+ca+ab=-1/2　とする。
このとき、

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)　の値を求めよ。

という問題で、答えは【-3】となるらしいのですが、
求め方が全然分からないので詳しい求め方を教えてもらえないでしょうか？

ちなみに、 1/b は、b分の1 という意味です。

回答No.3

Trick--o-- · ベストアンサー

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)
=a/b + a/c + b/c + b/a + c/a + c/b
=(b+c)/a + (a+c)/b + (a+b)/c

　a+b+c=0 より
　b+c=-a , a+c=-b , a+b=-c

=-a/a + -b/b + -c/c
=-3

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
おかげで理解することができました！

回答No.4

mister_moonlight

単に、この問題を解くだけなら簡単だが、条件で示されている2つの条件“a^2+b^2+c^2=1 , bc+ca+ab=-1/2　”の意味が分らない。
この条件がなくても解けることは、既に示されているが、ひょつとすると、続きの問題があるのかもしれないので、出題者の意図を汲んで（？）解いておこう。

abc＝kとすると、a、b、cは　t＾3－（1/2）t-k＝0の3つの解。‥‥(1)
Ｐ＝a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)＝a（b＋c）/（bc）＋b（a＋c）/（ac）＋c（a＋b）/（ab）＝‥‥‥＝-（1/abc）*（a＾3＋b＾3＋c＾3）‥‥(2)
(1)より、a＾3＝a/2＋k　であるから、a＾3＋b＾3＋c＾3＝（a＋b＋c）/2＋3k＝3k　‥‥(3)
(2)と(3)において、Ｐ＝-（1/abc）*（a＾3＋b＾3＋c＾3）＝-（3k）/（k）＝-3.

お礼

わざわざ考えてくださり、ありがとうございます。
そういう解き方もあるのですね。
勉強になりました！

回答No.2

noname#95312

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)
=a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)-3
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3=-3

回答No.1

noname#96417

分母が同じ項をまとめてみると・・・