閾値付き拡散方程式

質問

ｎ次元（1次元限定でも可）拡散方程式
∂u/∂t = ∇^2 u
において、u<σとなったら、u=0という条件をつけます。

0.　この方程式は数学的に意味があるでしょうか？
　　つまり、デルタ関数とか弱解といった分野的に、という意味です。
1.　この方程式は解析的に解けるでしょうか？
2.　各種の数値解法を適用した場合、
　　数値解は格子のスケールに依存しないでしょうか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> u<σとなったら、u=0

　「u<σとなったら」即座にu=0になるんであれば、「u<σとなっ」てる暇も無い筈であり、ご質問はwell definedとは言いがたいのだけれども、ま、そこはナニすることにすると：

(1) 至る所でσ以上の値を持つ初期値u(0)から出発すれば、その「条件」に出番はない。
(2) ちょっとでもσ未満の部分がある初期値から出発すれば、その部分が即座に0になり、するとその境界では(∇^2)uが発散するのだけれども、そこはナニして考えるなら、境界の微妙に外にある部分は即座に0に落ち、これが雪崩を打って広がる、という現象が無限小時間の間に起こるということだから、結局即座に至る所が0になる。そして、以後変化しない。

ということになりませんかね。
　しかし数値計算に単純にこの条件を追加すれば、「u<σとなっ」てからやや遅延があって「u=0」になるために、「雪崩を打って広がる」プロセスが可視化されることでしょう。

お礼

ありがとうございます。確かにwell definedでない気がします・・・

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。
　たとえば
　　f(u,a) = u (cos(2 max(0,σ-u)/(σπ)))^a
　　∂u/∂t = ∇^2 f(u,a)
において、a→∞の極限を問うというのだったらwell definedにはなるんじゃないかな。解ける気はしないけど。
　ここでf(u,a)は、
　　f(0,a) = 0
　　(∂(f/u)/∂u)(σ,a) = 0
　　∀u( 0＜u＜σ ⇒ (∂(f/u)/∂u)(u,a) < 0)
　　∀u( σ＜u ⇒ f(u,a) = u)
を満たす適当な関数の一例を挙げただけ。
　いや、もっと条件を緩めても良いのですが。というのは、要するに微分方程式の右辺のuを、滑らかな関数f(u,a)に差し替えて、そのパラメータaを振ったときの極限が「∂u/∂t = ∇^2 uだけどu＜σなら即座に0」というキモチをなんとか表現するようにしてやる、というだけの事ですから。