二次元拡散方程式の一般解が求まりません

質問

二次元拡散方程式の一般解が求まりません
すみません、拡散方程式で解けない問題がありまして、どなたかご教授ください。
u(x,y,t)の位置(x,y)と時間(t)のみに依存する関数があり、
拡散方程式
∂u/∂t=D*(∂^2u/∂x^2+∂^2u/dy^2)　
（Dは定数）
(0<x<a , 0<y<b)

境界条件は、u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=0.0 ,u(x,b,t)=0.0 です。
初期条件は u(x,y,0)=f(x,y) です。

変数分離　u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)
代入後uで両辺を割る　T´/(D*T)＝X´´/X+Y´´/Y
後はD*X´´/X＝α、D*Y´´/Y＝β　（α、β、kは定数）ここで，k=-(α+β)とおく。
の３つの微分方程式を解いて初期条件、境界条件を用いて定数を決定します。
X(x)=Acos√αx+Bsin√αx
Y(y)=Ccos√βy+Dsin√βy
とおいて、境界条件を代入し
X(0)=X(a)=0
Y(0)=Y(b)=0

X(a)=Bsin√αa=0
α=(nπ/a)^2 (n=1,2,・・・)
Y(b)=Dsin√βb=0
β=(nπ/b)^2 (n=1,2,・・・)

境界条件u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=0.0 ,u(x,b,t)=0.0がときのものは
一般解を求められました。

次に，
境界条件u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=1.0 ,u(x,b,t)=0.0のときの一般解を求めたいのですが、上手く出来ません。
X(x)=Acos√αx+Bsin√αx
Y(y)=Ccos√βy+Dsin√βy
とおいて、境界条件を代入し
X(0)=0
X(a)=1
Y(0)=Y(b)=0

X(a)=Bsin√αa=1

Y(b)=Dsin√βb=0
β=(nπ/b)^2 (n=1,2,・・・)

X(a)=Bsin√αa=1をどう解けばいいのか分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

∂u/∂t=D*(∂^2u/∂x^2+∂^2u/dy^2)　
（Dは定数） (0<x<a , 0<y<b)
境界条件：u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=0.0 ,u(x,b,t)=0.0・・・(1)
初期条件：u(x,y,0)=f(x,y)・・・(2)

・・・以下にアドバイス！
T(t)に関する微分方程式を考慮していないようだが・・・！？
T'(t)+D(α+β)・T(t)=0
----------------------------
X(a)=Bsin√αa=0
α=(nπ/a)^2 (n=1,2,・・・)
Y(b)=Dsin√βb=0 (任意常数Dとおくのは拡散係数をDと表現してるので紛らわしいから違う文字にした方がよい)
β=(nπ/b)^2 (n=1,2,・・・)
----------------------------
・・・はα、β共にnで考えているようだが、X(x),Y(y)は個別の式なので境界条件を満たす表現式はnとmとに分けた方がよい。
・・・なので、例えばβについて
β=(mπ/b)^2 (m=1,2,・・・)
と表現した方がよい。
----------------------------
次に，
境界条件u(0,y,t)=0.0 , u(x,0,t)=0.0 ,u(a,y,t)=1.0 ,u(x,b,t)=0.0のときの一般解を求めたいのですが
---------------------------
・・・？？　この条件はどこから出てきたのか？
初期条件についての吟味もされていないし・・・

・・・で当方のアプローチ！
境界条件(1)を満たすu(x,y,t)の特解u_nm(x,y,t)は、
u_nm(x,y,t)=A_nm・exp(-D((nπ/a)^2+(mπ/b)^2)t)sin(nπx/a)sin(mπy/a)
特解の一次結合も解になりうるからこれを級数表現（収束は仮定）して
u(x,y,t)=Σ[n,m=1～∞]A_nm・exp(-D((nπ/a)^2+(mπ/b)^2)t)sin(nπx/a)sin(mπy/a)
とすれば、初期条件(2)から
u(x,y,0)=f(x,y)=Σ[n,m=1～∞]A_nm・sin(nπx/a)sin(mπy/a)
である。すなわちf(x,y)の二重Fourier級数展開の形であるので、係数A_nmは
A_nm=(4/ab)・∫[0,a]∫[0,b]f(x,y)sin(nπx/a)sin(mπy/a)dxdy
で求められる故これを代入して一般解は、
u(x,y,t)=Σ[n,m=1～∞]｛(4/ab)・∫[0,a]∫[0,b]f(x,y)sin(nπx/a)sin(mπy/a)dxdy｝・exp(-D((nπ/a)^2+(mπ/b)^2)t)sin(nπx/a)sin(mπy/a)

お礼

本当に助かりました。

回答No.1

alice_44

FAQ ↓
http://es.ris.ac.jp/~nakagawa/term_collection/yogoshu/ll/ka.htm#diffusion_equation

お礼

わざわざ、ありがとうございます。
御手数おかけしてすみません。

このURLは，あくまでも一次元の話ですよね？
一次元は理解しているので、、、