指数関数方程式の解法

質問

指数関数の解法についてですが、超越関数に代数的な解法は無いと
習いましたが、数値代入等である程度あたりがつけられるものに関しては、
何か汎用的な解法があるのかと思い、質問させて頂いています。

例えば、

2^x = 3x-1　　　(解)x = 1, 3
3^x = 6x-3　　　(解)x = 1, 2
4^x = 12x-8　　　(解)x = 1, 2

と言った問題ですが、何か良い解法を御存知であれば御教授下さい。
因みに、コンピューターを使った数値解析法とかではなく、筆記によって
数分で解く事の出来る様な解法が対象です。

回答No.1

FT56F001

系統だった解法はなさそうに思います。やるとすると次のような方法でしょうか。

1) グラフ(例えばy=2^xとy=3x-1)を描き，解の個数，解の範囲の目安をつける。
2) あたりをつけて，整数値や簡単な分数値を代入，試行錯誤的に解を探す。
(解けるように問題が作られていれば，たいがい見つかる。)
3) 必要なら，数論的性質を考慮する。
例えば，x=n/m(n,mは整数，m>1)なら2^xは無理数になるが，3x-1は有理数なので，
方程式2^x=3x-1の解になりえない。
方程式が4^x=12x-8なら，x=整数値/2の可能性もある。

4) これで解けなければ，ニュートン法なりを使って力任せに数値計算。

学校の試験問題なら，出題者が隠した「宝探し」ゲームのつもり(??)で1)～3)をします。
実用的な問題なら，早々にあきらめて4)をやってみて，
出てきた数値が整数値などに近ければ確認する程度でしょう。

お礼

早々に御教授頂き、誠に有難う御座います。

こちらは息子の高校の試験問題だったのですが、
授業では対数微分辺り迄、習っているようです。

仰る様に両辺のグラフを描いて、交点を求め、
左辺は単調増加ですので、右辺の直線との
交点は最大 2 つ迄と説明すれば良いのかと
思いましたが、"交点を求める"部分が
どうしても試行錯誤になるのですね。

何れに致しましても、これと言った解法が
なさそうだと言う事で、理解を深める事が
出来ました。有難う御座いました。