簡単な式の方程式ですが解法をお願いします。

質問

簡単な式の方程式ですが解法をお願いします。
　ｘ＝cos（x）

パソコンを使って数値解析すると近似値は　ｘ＝０．７３．．.

なのですが　すっきりした解法はあるのでしょうか。

回答No.6

sanori

こんにちは。

cosｘ　のマクローリン展開は、
cosｘ　＝　Σ[n=0⇒∞]（－１）^n・ｘ^2n／（２ｎ）！
　＝　ｘ^0／０！　－　ｘ^2／２！　＋　ｘ^4／４！　－　ｘ^6／６！　＋　・・・
　＝　１　－　ｘ^2／２　＋　ｘ^4／２４　－　ｘ^6／７２０　＋　・・・

ｘが１に比べて十分小さいときは第３項以降が無視できて、
cosｘ　≒　１　－　ｘ^2／２

ｘ＝cosｘ　のとき
ｘ　＝　１　－　ｘ^2／２
ｘ^2／２　＋　ｘ　－　１　＝　０
ｘ^2　＋　２ｘ　－　２　＝　０
（ｘ＋１）^2　＝　３
ｘ＋１　＝　±√３　＝　±人並におごれや　＝　±１．７３２０５０８・・・
ｘ　＝　－１±１．７３２０５０８・・・
　＝　－２．７３　または　０．７３

コサインの絶対値は１以上になるとまずいので、
ｘ　＝　０．７３
のみが生き残ります。

最後に、第３項が無視できるかを点検します。
０．７３^4／２４　＝　０．０１１８　≪　０．７３
そして第４項以下は、さらに無視できます。
大丈夫そうです。

回答No.5

f272

近似的な解で良いのならx=π/4
もう少し精度を上げた近似解ならx=(1+π/4)/(1+√(2))

回答No.4

178-tall

誤写訂正。

42.34....
　↓
0.739....

回答No.3

178-tall

>ｘ＝cos（x）

cos( ) の不動点を求める問題ですね。

スプレッドシートに、

　X_i　　　=cos(X_i)　　　← X_i+1 へ代入
　X_i+1　　=cos(X_i+1)　　以下、繰り返し

を勘定させると、勝手に X_k が 42.34.... へ収束してくれます。

回答No.2

noname#113983

ああ、6次や8次方程式の解が解けるといいのになあ。マクロリーん展開より
cosx=1-x^2/2＋x^4/4!-x^6/6!＋x^8/8!
と近似できるから、x=1-x^2/2＋x^4/4!-x^6/6!＋x^8/8!
となるようなxの解が求められると・・・。

回答No.1

halcyon626

単純な式を詳しく回析しようとすると、逆に面倒になってくるので、そういうことはしない方がいいです。
グラフで、Y=Xと、Y=COSXを書いて、交わる点を出すだけでいいんじゃないでしょうか？