一次元の拡散方程式

質問

一次元の拡散方程式

(1)のように与えられる1次元の拡散方程式で、
境界条件は(2)(3)式を満たす。
Fourier変換は(4)(5)式で定義され、
u(x,t)のFourier変換を(6)式とすると、
U(k,t)は(7)式のように書ける。

このとき、U(k,t)を逆Fourier変換することにより、
u(x,t)の一般解をu(x,0)の積分形で表したいのですが、
どうすればいいか分かりません。

どなたかご教授いただけるとうれしいです。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

Fをフーリエ変換、Gをフーリエ逆変換

(6) u(t,x) = GU(x,t).
(7) U(k,t) = U(k,0)exp(κk^2t).

一般に、フーリエ変換と合成積(＊)の関係
F(f＊g) = F(f)F(g)
より
f＊g = G(F(f)F(g))
ここで、fをGf、gをGgにすると
Gf＊Gg = G(fg)

u(x,t) = GU(x,t) = G[U(k,0)exp(κk^2t)](x,t)より

u(x,t) = (G[U(k,0)]＊G[exp(κk^2t)])(x,t)

　ここからは、正規分布（の特性関数っぽいもの）や、デルタ関数が登場するけど、基本的には計算するだけ。

お礼

分かりやすいご回答、ありがとうございます。
無事理解できました。

今後も邁進して勉強いたします。