偏微分方程式の逆解析について

質問

偏微分方程式がすべて分かっていて、ある境界条件の下に解を求めるという順解析の逆、すなわち答え（解）が実験などによって分かっていて偏微分方程式の未知パラメータを推定するということを考えます。偏微分方程式の微分の各項を実験データから評価して、未知パラメータを推定することはできると思います。パラメータ1個乃至2個に対して実験データは数十から数百ぐらいあるとしたら、推定するパラメータの具体的な値も数百出てくると思われます。その中で最も妥当な方法を推定するのが逆解析というものなのでしょうか。
具体的には1次元の拡散方程式のようなものであり、拡散係数が未知だとします。拡散方程式の各項を時空間の各点で推定することができますが、その中から最適なものを選んで推定するのが逆解析なのでしょうか。射影とか集合とか線形代数を駆使するようで、上記の方法はイージーすぎるようにも思うのですが。1次元の拡散方程式に対応した実験から拡散方程式の拡散係数を妥当に求めるにはどうしたらいいでしょうか。

回答No.2

f272

> 私のイメージは後者です

私のイメージも後者です。
「パラメータ(入力)を与えると順解析によってすべての出力(測定値に対応する)が得られるときに」と書いているとおり，逆解析うんぬんと言うときには既に順解析での計算式が確定していることを前提にしているはずです。
#1の回答で色々言ったのは，どんな式を使って逆解析を行うのが妥当なのかを吟味しておく必要はないのですかという問いかけなのです。
#1に対するお礼のところに書いてあることを読むとちゃんと考えているようですね。その調子で研究してください。

回答No.1

f272

どんな物理現象を想定しているのかわからないが，まず「1次元の拡散方程式のようなもの」で表せるの？その方程式で無視している現象は本当に無視していていいものなの？
次に「拡散係数が未知」ということですが，拡散係数は時空間の各点で変化しないものなのですか？もし変化するものであるなら，方程式のパラメータの数が増えますよ。逆解析の認識としては「パラメータ(入力)を与えると順解析によってすべての出力(測定値に対応する)が得られるときに，測定値から未知のパラメータを推測すること」です。パラメータの数が測定値よりも格段に多いなんてことはないのですか？

> その中から最適なものを選んで推定するのが逆解析なのでしょうか

パラメータの推定は誤差を含んでいる測定値に基づくのだから，パラメータの推定値の中から選ぶのではなく，測定値を合理的な範囲内で説明可能なパラメータを計算するのです。

お礼

回答ありがとうございます。”測定値から未知のパラメータを推測すること”というところですが、その”未知のパラメータ”というのは、どのようなパラメータがあるのか分からない（式が確定していない）ということか、あるいは未知のパラメータがどのようなものかは確定している（式が確定している）けれども具体的な数値が確定していない、ということなのでしょうか。私のイメージは後者です。そうすると、もちろん、計測された結果が式と合致しているのか？　という疑問が出てきます。それは努力してそうしているということはできます。1次元の拡散方程式と言いましたが、熱の伝導・拡散で断熱材を2重で巻き付けて側方からの熱の流入を抑え込む努力をしています。それが完全でなかった場合、エラーの入り方がガウス的（平均がゼロ？）ではないということになりますが、完全と言う仮定を入れたら1次元性が担保できます。それで逆解析をやるということです。拡散係数の時空間分布については常温の範囲での変動なので小さいとみて無視する場合と空間に分布する仮定してその分布を調べるということも考えられます。前者だったら未知数が１つだけであり、後者だったら10点程度になるのですが。