拡散方程式と波動方程式の初期値・境界値問題です。

質問

よろしくお願いします。

１、正方形領域 0≦x≦π、0≦y≦πにおいてu(x,y,t)に関する以下の拡散方程式の初期値・境界値問題を考える。

u_t＝u_xx＋u_yy …(1)

u(x,0,t)＝u(x,π,t)＝u(0,y,t)＝u(π,y,t)＝0 …(2)

u(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y) …(3)

(1)m,nが自然数のとき、f_(m,n)(t)sin(mx)sin(ny)が(1)を満足する特解であるとする。（f_(m,n)：添え字）
f_(m,n)(t)を求めよ。ただしf_(m,n)(0)＝1とする。

(2)(1)、(2)、(3)を満足する解をu(x,y,t)＝Σ(∞、m,n＝1)a_(m,n)f_(m,n)(t)sin(mx)sin(my)とする。
a_(m,n)を求めよ。

２、同じ方法を用いて、正方形領域 0≦x≦π、0≦y≦πにおける以下の波動方程式の初期値・境界値問題の解u(x,y,t)を求めよ。

u_tt＝u_xx＋u_yy …(4)

u(x,0,t)＝u(x,π,t)＝u(0,y,t)＝u(π,y,t)＝0 …(5)

u(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y)、u_t(x,y,0)＝0 …(6)

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

あと、（2）はu(x,y,t)＝Σ(∞、m,n＝1)a_(m,n)f_(m,n)(t)sin(mx)sin(my)で合ってますか？
u(x,y,t)＝Σ(∞、m,n＝1)a_(m,n)f_(m,n)(t)sin(mx)sin(ny)ではないという事でいいですか？

補足

はい、（2）はu(x,y,t)＝Σ(∞、m,n＝1)a_(m,n)f_(m,n)(t)sin(mx)sin(my)で合っています。
よろしくお願い致します。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

u=f_(m,n)(t)sin(mx)sin(ny)
と置けば（1）は解けると思うんですが。

あと、（3）式のu(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y)はxの関数とyの関数って意味ですか？

補足

すみません、(3)式はu(x,y,0)＝x×(π－x)×y×(π－y)です。
よろしくお願い致します。