絶対値 答え合わせとわからないところがあります。

質問

絶対値の問題が全部で７つあります。４）と６）は解けませんでした、考え方を教えて頂けますか？
それ以外の答えは合っているでしょうか？
お時間があれば宜しくお願い致します。

1) |8^x - 9 | ≦ 7 →　1/3 ≦ x ≦ 4/3

2) | 9-2x | < 1 →　2< x < 5

3) | x-2 | < 3-2x →　x< 1, x< 3/5 → x< 1

4) | 2^x - 8| < 5 →　？

5) | 2x+1| < | x | →　x >-1, x < -1/3, x < -1 → x >-1　又は x < -1/3

6) | x-3a | >|x-a | →　？

7) 2x >| x-1| →　x>-1, x>1/3 → x>-1

4)と6)　ですが以下が私が途中までやった事です。

4) | 2^x - 8| < 5 →　2^x < 13, 2^x >3 ここから先がわかりません。

6) | x-3a | >|x-a | →　x < 3a, 3a ≦ x< a, x≧a

x-3a≧0すなわちx≧3aのとき| x-3a |= x-3a
x-3a＜0すなわちx＜3aのとき| x-3a |= -x+3a
x-a≧0すなわちx≧aのとき| x-a |= x-a
x-a ＜0すなわちx＜a のとき| x-a |= -x+a

以上からxの範囲はa>x ,a≦x＜3a、x≧3aに区分され、

a>x の時 →　2a>0 これは答え無しでいいんでしょうか？
a≦x＜3a　 の時　→　x＜2
x≧3a　 の時　→　0 >2a これも答え無しでいいんでしょうか？

回答No.8

shuu_01 · ベストアンサー

＞　７）について質問させて下さい。
＞　答えが　x>-1, x>1/3 の二つ出るところまでは合っていますか？
＞　もし合っているならば何故正解がx>-1　でなくてx ＞ 1/3 なのか
＞　理解出来ないのです。x>-1　ならば例えば０なども入りますが
＞　x ＞ 1/3とすると入らなくなります。
＞　なので私はより範囲の広いx>-1　とまとめます。

７） の解答は：

x ＜ 1 の時
　2x ＞ 1 - x
　3x ＞ 1
　x ＞ 1/3
　x ＜ 1 の時ですので、1/3 ＜ x ＜ 1

x ≧ 1 の時
　2x ＞ x -1
　x ＞ -1
　x ≧ 1 の時はすべて成り立ちます

上記を合わせて、x ＞ 1/3 となります

お礼

やっとわかりました。　こちらで質問して助かりました。　私は基本的な事を全く考えていませんでした。

＞x ≧ 1 の時
書き込んで頂いたグラフを見たり自分でも書いたりしている内にこの意味がわかりました。
きちんと理解する事が出来て嬉しいです。

これから昨日質問させて頂いた自分の中で未解決の問題に取り組みます。
有難うございました！

回答No.10

shuu_01

＞　これから昨日質問させて頂いた自分の中で未解決の問題に取り組みます。

偉いです。でも、７つもあって大変ですね
次回から１つずつ質問した方が余裕できると思います
対数以外の所でも躓いていたみたいですし

でも、対数はそんなに難しくありません

2^0 ＝ 1、2^1＝2、2^2＝4、2^3＝8、、、、
2 の ０乗は １、１乗は２、２乗は４、３乗は８、、、
って所まで理解してるとして、
ある数（底）の何乗が、その数字になるかが、
対数と言って log で表します
上記の例だと
log[2] 1 ＝0、log[2] ２＝１、log[2] ４＝ 2、log[2] 8 ＝ 3、、、
という感じです

8^0 ＝ 1、8^1＝8、8^2＝64、、、、を対数で考えると、
log[8] 1＝ 0、log[8] 8 ＝ 1、log[8]64 ＝ 2 です

このように整数乗の時はわかりやすいのですが、、
1) に出てくる　8^x - 9　みたいになると、難しいです

でも、上の並びを見ると、log[8] 9 が 1 と 2 の間にあることが
わかり、今回の問題を解くには、それで十分です

1) |8^x - 9 | ≦ 7 →　1/3 ≦ x ≦ 4/3

の解答は：

　8^x － 9 ＜ 0 となるのは、x ＜ log[8] 9 の時
　8^x － 9 ≧ 0 となるのは、x ≧ log[8] 9 の時
　ですので、

　x ＜ log[8] 9 の時
　　9 － 8^x ≦ 7
　　8^x ≧ 2
　　(2^3)^x ≧ 2
　　2^(3x) ≧ 2
　　3x ≧ 1
　　x ≧ 1/3
　　x ＜ log[8] 9 と合わせて、1/3 ≦ x ＜ log[8] 9

　x ≧ log[8] 9 の時
　　8^x － 9 ≦ 7
　　8^x ≦ 16
　　(2^3)^x ≦ 2^4
　　2^3x ≦ 2^4
　　3x ＜ 4
　　x ＜ 4/3
　　x ≧ log[8] 9 と合わせて、log[8] 9 ≦ x ＜ 4/3

以上を合わせて、1/3 ≦ x ≦ 4/3

【答え】 1/3 ≦ x ≦ 4/3

お礼

１番に対する説明とお気遣い有難うございます。
恥ずかしながらまだ６番がわからない状態です。
そして全問やりなおしたところ１番もまぐれ当たりでたまたま答えがあってただけでした。

「僕には難しかったですけど、合ってます」
というコメントを頂いた時「？」と思ったんですがどうりで。。。。

ですので７問中まだ３つわかってない状態です。
こんなに手こずるとは思っていませんでした。

アドバイス下さった様に次回からは１つずつ質問させて頂きます。

収拾がつかなくなるので一旦閉めさせて頂く事にします。
今のままだと再質問も躊躇してしまうので。

皆様から頂いたアドバイスを元にこつこつやってみます。
わからなかったら再度ひとつずつ又質問させて頂きます。

有難うございました。

回答No.9

shuu_01

＞　このlogという記号は初めて見ました。　
＞　今はチンプンカンプンなので

対数の説明は

【１】　Wikipedia　対数
http://ja.wikipedia.org/wiki/対数

に説明ありますが、ちょっと堅苦しいです

【２】　対数とはどんな数か？ - 君の瞳に恋してる眼科
http://www.minemura.org/juken/taisu.html

は、わかりやすく説明しようという気持ちは感じられ、

全文が短いので読んでみると良いです

他にも対数をググるといろいろ解説を見れます

お礼

有難うございました。

回答No.7

info22_

以下の「（左式）⇔（右式）」の「⇔」は同値変形を表します。

1)
|8^x - 9 | ≦ 7
⇔ -7≦8^x -9≦7
⇔ 2≦8^x≦16
⇔ log[2](2)≦xlog[2](2^3)≦log[2](2^4)　（←底2の対数をとる）
⇔ 1≦3x≦4
⇔ 1/3≦x≦4/3

「1/3 ≦ x ≦ 4/3」で合ってる。

2)
| 9-2x | < 1
⇔ -1<2x-9<1
⇒ 8<2x<10
⇔ 4<x<5

「2< x < 5」は間違い。

3)
| x-2 | < 3-2x
⇔ 2x-3<x-2<3-2x
⇔ x<1 かつ x<5/3
⇔ x<1

「→　x< 1, x< 3/5 → x< 1」
最終的な答えは合ってますが途中の「x< 1, x< 3/5 」は減点される。

4)
| 2^x - 8| < 5
⇔ -5<2^x -8<5
⇔ 3 < 2^x < 13
⇔ log[2](3) < xlog[2](2) < log[2](13) (←底が2の対数をとる)
⇔ log[2](3) < x < log[2](13)

5)
| 2x+1| < | x |
⇔ (2x+1)^2 < x^2
⇔ (2x+1)^2 - x^2 <0
⇔ (2x+1-x)(2x+1+x)<0
⇔ (x+1)(3x+1)<0
⇔ -1 < x < -1/3

「→　x >-1, x < -1/3, x < -1 → x >-1　又は x < -1/3」
間違い。
「x >-1　又は x < -1/3」の「又は」は「かつ」の間違い。

6)
| x-3a | >|x-a |
⇔ (x-3a)^2 > (x-a)^2
⇔ (x-3a)^2 - (x-a)^2 >0
⇔ (x-3a+(x-a))(x-3a-(x-a)) >0
⇔ 2(x-2a)(-2a) > 0
⇔ a(x-2a) < 0
⇔ x<2a (a>0のとき)、x>2a(a<0のとき)、解なし(a=0のとき)

したがってNo1さんの6)の解は間違いと思います。

7)
2x >| x-1|
⇔ -2x < x-1 <2x
⇔ 1/3 < x かつ -1 < x
⇔ x > 1/3

「→　x>-1, x>1/3 → x>-1」
間違い。
途中の「x>-1, x>1/3」は「x>-1 かつ x>1/3」の間違い。
したがって「又は」として導いいた最終解「x>-1」は間違い。

お礼

info22_様　丁寧なご回答有難うございます。

沢山のアドバイスを頂いたにもかかわらず７問中まだ３つわかってない状態です。（全問やりなおしたところ１番もまぐれ当たりでたまたま答えがあってただけ）
こんなに手こずるとは思っていませんでした。

次回からは１つずつ質問させて頂きます。

収拾がつかなくなるので一旦閉めさせて頂く事にします。
今のままだと再質問も躊躇してしまうので。

皆様から頂いたアドバイスを元にもう一度やってみます。
わからなかったら再度ひとつずつ又質問させて頂きます。

機会があれば又よろしくお願い致します。

回答No.6

yyssaa

6)だけ、ほかは他の回答に正解あり。
|x-3a|＞|x-a| →　？
＞x-3a≧0すなわちx≧3aで|x-3a|=x-3a
x-a≧0すなわちx≧aで|x-a|=x-a
(ア)a=0のとき解無し。
(イ)a＞0のときはa＜3a
x＜aでは-x+3a＞-x+aだからx＜a(イ-1)
a≦x＜3aでは-x+3a＞x-aだから2a＞x(イ-2)
3a≦xではx-3a＞x-aだから解無し
a＜2aだからx＜2a(イ-2)
(ウ)a＜0のときは3a＜a
x＜3aでは-x+3a＞-x+aだから解無し
3a≦x＜aではx-3a＞-x+aだからx＞2a(ウ-1)
a≦xではではx-3a＞x-aだからa≦x(ウ-2)
2a＜aだからx＞2a(ウ-1)
以上から
a=0のとき解無し、a＞0のときx＜2a、a＜0のときx＞2a・・・答

お礼

yyssaa様いつもお世話になります。
詳しく書いて下さって有難うございます。
が、この６番まだわかっていません。

そして全問やりなおしたところ１番もまぐれ当たりでたまたま答えがあってただけでした。

７問中まだ３つわかってない状態です。
こんなに手こずるとは思っていませんでした。

次回からは１つずつ質問させて頂きます。

収拾がつかなくなるので一旦閉めさせて頂く事にします。
今のままだと再質問も躊躇してしまうので。

皆様から頂いたアドバイスを元にもう一度やってみます。
わからなかったら再度ひとつずつ又質問させて頂きます。

機会があれば又よろしくお願い致します。

回答No.5

shuu_01

＞　6) | x-3a | >|x-a | →　x < 3a, 3a ≦ x< a, x≧a
＞　x-3a≧0すなわちx≧3aのとき| x-3a |= x-3a
＞　x-3a＜0すなわちx＜3aのとき| x-3a |= -x+3a
＞　x-a≧0すなわちx≧aのとき| x-a |= x-a
＞　x-a ＜0すなわちx＜a のとき| x-a |= -x+a
＞　以上からxの範囲はa>x ,a≦x＜3a、x≧3aに区分され、
＞　a>x の時 →　2a>0 これは答え無しでいいんでしょうか？
＞　a≦x＜3a　 の時　→　x＜2
＞　x≧3a　 の時　→　0 >2a これも答え無しでいいんでしょうか？

No. 1 です

No.1 の僕の答えもちょっと違ってたので、訂正がてら追加回答します

a ＜ 0 の場合と、a ＝ 0 の場合、a ＞ 0 の場合に分けて考えなければなりません

machikono さんは a ≧ 0 の場合だけ考えてますね

＞　a>x の時 →　2a>0 これは答え無しでいいんでしょうか？

a ＝ 0 の場合は、「常に成り立たない」
a ＞ 0 の場合は「常に成り立つ」

＞　a≦x＜3a　 の時　→　x＜2

a ＝ 0 の場合は　x ＜ 2a 　で「常に成り立たない」
a ＞ 0 の場合は　x ＜ 2a

＞　x≧3a　 の時　→　0 >2a これも答え無しでいいんでしょうか？

x -3a ＞ x -a で「常に成り立たない」

お礼

ご回答有難うございます。

回答No.4

shuu_01

＞　4) | 2^x - 8| < 5 →　2^x < 13, 2^x >3
＞　ここから先がわかりません。

x ＜ 3 の時
　8 - 2^x ＜ 5
　2^x ＞ 3
　底を２とする対数をとると
　x ＞ log[2] 3 （1 より大きく、2 より小さい）

x ≧ 3 の時
　2^x - 8 ＜ 5
　2^x ＜ 13
　底を２とする対数をとると
　x ＞ log[2] 13（3 より大きく、4 より小さい）

以上、合わせて log[2] 3 ＜ x ＜ log[2] 13

底 a が 1 より大きい時、
　x > t ならば　log[a] x　＞　 log[a] x

底 a が 0 と 1 の間の時、
　x > t ならば　log[a] x　＜　 log[a] x

＊　ぴったしのサイト見つけられませんでしたが、
　　http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/logarithmic_ineq1.htm

　　の説明、参考になります

お礼

有難うございます。　このサイト＋頂いたアドバイスを参考にじっくり勉強します！

回答No.3

asuncion

(4)
|2^x - 8| < 5
i)2^x - 8 ≧ 0のとき
左辺 = 2^x - 8
2^x ≧ 8, x ≧ 3
2^x - 8 < 5
2^x < 13
x < log[2]13
3 ≦ x < log[2]13
ii)2^x - 8 < 0のとき
左辺 = -2^x + 8
-2^x + 8 < 5
2^x > 3
3 < 2^x < 8
log[2]3 < x < 3
i)ii)より、log[2]3 < x < log[2]13

お礼

詳しく説明して頂き有難うございます。
このlogという記号は初めて見ました。　
今はチンプンカンプンなので出来なかった他の問題を制覇してから頂いたアドバイスを参考にしながら取り掛かろうと思ってます。

有難うございました！

回答No.2

yyssaa

6) | x-3a | >|x-a | →　？
の回答？

お礼

チェックして頂いて有難うございます。

回答No.1

shuu_01

1) |8^x - 9 | ≦ 7 →　1/3 ≦ x ≦ 4/3

僕には難しかったですけど、合ってます

2) | 9-2x | < 1 →　2< x < 5

正解は 4 ＜ x ＜ 5

3) | x-2 | < 3-2x →　x< 1, x< 3/5 → x< 1

合ってます

4) | 2^x - 8| < 5 →　？

x ＜ 3 の時　8 -2^x ＜ 5
　　　　　　　　2^x ＞ 3
　　　　　　　　x ＞ log[2] 3 ≒ 1.58
x ≧ 3 の時　2^x - 8 ＜ 5
　　　　　　　　2^x ＜ 13
　　　　　　　　x ＜ log[2] 13 ≒ 3.70
以上を合わせて
　　　　　　　　log[2] 3 ＜ x ＜ log[2] 13

5) | 2x+1| < | x | →　x >-1, x < -1/3, x < -1 → x >-1　又は x < -1/3

正解は -1 ＜ x ＜ －1/3

6) | x-3a | >|x-a | →　？

a ＜ 0 の場合
　x ＜ 3a の時　3a -x ＞ a - x　成り立たない
　3a ≦ x ＜ a の時　x - 3a ＞ a - x
　　　　　　　　　　　　　x ＞ a　成り立たない
　x ≧ a の時　x - 3a ＞ x - a　常に成り立つ
　以上 合わせて
　　x ≧ a

a ≧ 0 の場合
　x ＜ a の時　3a － x ＞ a － x　常に成り立つ
　a ≦ x ＜ 3a の時　3a - x ＞ x - a
　　　　　　　　　　　　　x ＜ 2a
　x ≧ 3a の時　x - 3a ＞ x - a　成り立たない
　以上 合わせて
　　a ＜ x ＜ 2a

7) 2x >| x-1| →　x>-1, x>1/3 → x>-1

正解は x ＞ 1/3

お礼

それぞれの答え合わせ、そして細かく説明して頂き有難うございます。
しかし４，６，７がわかりません。
４に出てくるlog　などは初めてみるものでちょっと私には早かった様です。少し勉強してから取り掛かりますのでここでは一旦保留にさせて頂きます。まず６，７がわかる様になってから頂いたアドバイスを元に取り掛かります。

６）は今から取り掛かりますが
７）について質問させて下さい。

答えが　x>-1, x>1/3 の二つ出るところまでは合っていますか？
もし合っているならば何故正解がx>-1　でなくてx ＞ 1/3 なのか理解出来ないのです。x>-1　ならば例えば０なども入りますがx ＞ 1/3とすると入らなくなります。なので私はより範囲の広いx>-1　とまとめます。

すみませんお時間ありましたら説明して頂けますか？