絶対値つきの定積分の問題

質問

∫|sin x|dx　　範囲は[-π,π]
=2∫|sin x|dx　範囲は[0,π]　　←範囲が[-π,π]で、|sin x|は偶関数なので。
=2∫(sin x)dx + 2∫(sin x)dx　範囲は[0,？]と[？,π]
=...

範囲が分かりません。

絶対値がある場合の積分の計算は、場合分けをすると思うのですが
その場合分けの考え方が分かりません。

答えは「４」と分かっているんですが、途中式がないため答えまでたどり着きません。

「場合分けの考え方」と「途中式」の説明をお願いします。

回答No.1

ccyuki · ベストアンサー

y=|sin x|　のグラフを考えます。
　　まず　y=sinx　のグラフは　-π≦x≦π　の範囲で
　書けますか？
y=|sin x|　のグラフは　このグラフのx軸の下にある部分(つまり-π≦x≦0の部分)をx軸の上側に折り返したものです。
　これさえわかれば
∫|sin x|dx　　範囲は[-π,π]
=2∫sin xdx　範囲は[0,π]　　　がわかりますよね。
絶対値が取れれば計算できるので
∫|sin x|dx　　範囲は[-π,π]
=2∫sin xdx　範囲は[0,π]　
=2［-cosx］　　範囲は[0,π]
=2(-cosπ+cos0)=4

もっと細かくしたいのなら
∫|sin x|dx　　範囲は[-π,π]
=2∫sin xdx　範囲は[0,π]　　
=4∫sin xdx　範囲は[0,π/2]
　とも出来ますがあまり意味がないと思います。
いずれにしてもグラフでどの部分の面積を求めているのかを考えれば良いと思います。

補足

回答ありがとうございます。

疑問があるので、もう１つ質問をさせて下さい。

sin xのグラフは、-sinπ=0, -sinπ/2=-1, sin0=0, sinπ/2=1, sinπ=0
になり、|sin x|のグラフでは、-sinπ/2=-1が-sinπ/2=1になることまでは分かります。

絶対値を取る時、sinxのグラフを見ると範囲の[0,π]の所には
負の数がないから計算をするときは絶対値を取って、
＞=2［-cosx］　　範囲は[0,π]
と、このようになるんですか。

例えば
∫|cos x|dx　　範囲は[0,π]
=∫(cos x)dx + ∫(cos x)dx　　範囲は[0,π/2],[π/2,π]　←cosxのグラフでcos2/πから負の数になっているから？
=[sin x] + [sin x]　　範囲は[0,π/2],[π/2,π]
=(sinπ/2 - sin0) + (sinπ - sinπ/2)
=0

このように、グラフで負の数がない場合は、絶対値をのけるだけで、
負の数がある場合は、場合分けを上のようにすればいいのでしょうか。

重ね重ねですが、お願いします。

回答No.2

rtz

＞∫|cos x|dx　　範囲は[0,π]
＞=∫(cos x)dx + ∫(cos x)dx　　範囲は[0,π/2],[π/2,π]　←cosxのグラフでcos2/πから負の数になっているから？
＞=[sin x] + [sin x]　　範囲は[0,π/2],[π/2,π]
＞=(sinπ/2 - sin0) + (sinπ - sinπ/2)
＞=0

2行目は正しくは∫(cos x)dx [0,π/2] + ∫(- cos x)dx [π/2,π]です。
単純なミスだと思いますが。
π/2～πの範囲でcos xが0以下になるのでここの部分には - を付けます。
よってその先も
=(sinπ/2 - sin0) + (-sinπ + sinπ/2)
=2
が正解です。

お礼

回答ありがとうございます。

ご指摘の通り、2行目は
＞∫(cos x)dx [0,π/2] + ∫(- cos x)dx [π/2,π]
ですね。

絶対値がついた場合の場合分けを理解することができました。
丁寧な説明ありがとうございました。