絶対値のついた定積分の問題です。

質問

絶対値のついた定積分の問題です。

y=1/10a∮[0→10a]bsin(2πx/a)dx

という問題なのですが、答えはy=b/10πなんですが、合いません。

私の考えとしては、積分範囲を[0→a/2]にしてそれを20倍すればいいのかなと思うのですがこのやり方だと答えが合いません。

このやり方が間違っている理由と、正しい計算方法を教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>私の考えとしては、積分範囲を[0→a/2]にしてそれを20倍すればいいのかなと思うのですがこのやり方だと答えが合いません。

>このやり方が間違っている理由と、正しい計算方法を教えて下さい。

問題に間違いが含まれている状態、かつ積分の計算式の書き方にも問題があり、答えも間違ってる？状態で、これを訂正することを、質問者さんは、最初にすべきでしょう。
その上でなら、多分質問者さんのやり方で多分？（正しい問題も質問者さんの解答も書いてないので）いい線を行っているでしょう。

推察するところ
求める積分の式は
y=(1/(10a))∫[0→10a] b|sin(2πx/a)|dx (a>0) ...(1)
でしょう。

sin(2πx/a)の周期はaなので
|sin(2πx/a)|の周期は半分のa/2でしょう。
この周期a/2はx=0～10aまでに20周期あるので
1周期(0～a/2)の積分を20倍すれば積分部分が求められます。
0≦x≦a/2では|sin(2πx/a)|=sin(2πx/a)
なので
∫[0→10a] b|sin(2πx/a)|dx
=20b∫[0→a/2] sin(2πx/a)dx
=20b[-cos(2πx/a)*(a/(2π)][0→a/2]
=20b(a/(2π))*(1-(-1))
=20ab/π

従って(1)のyは
y=(1/(10a))*20ab/π=2b/π
これが正しい答えでしょう！

>答えはy=b/(10π)なんですが
この答えは勿論、間違っています。

お礼

解答ありがとうございます。
肝心の絶対値を書き忘れ、お粗末な書き方をしてしまいごめんなさい。
求める積分の式は
y=(1/(10a))∫[0→10a] b|sin(2πx/a)|dx
であっています。
私も計算の結果、解答してくださったy=2b/πになったのですが、教科書の答えはy=b/(10π)になっています。これは間違っていますよね？というのを遠回しに聞いたつもりでした。
わかりづらい質問の仕方をしてしまい申し訳ありません。
次回から気をつけます。
詳しく解答してくださり、本当にありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

noname#199771

いろいろ変なところがあって回答しにくいです。

「絶対値」はどこに？

＞y=1/10a∮[0→10a]bsin(2πx/a)dx

の右辺は何ですか？「∮」を使うということは周回積分ですよね？
「[0→10a]」がどう閉路になるんですか？

仮に∫[0→10a]bsin(2πx/a)dxのことだとしてもa≠0ならばこれ
は0になります。

さらに
y=1/10a∫[0→10a]bsin(2πx/a)dxとは
y=(1/10)a∫[0→10a]bsin(2πx/a)dx
y=(1/(10a))∫[0→10a]bsin(2πx/a)dx
y=1/(10a∫[0→10a]bsin(2πx/a)dx)
のどれの意味なのかが不明です。

同じように
y=b/10πとは
y=b/(10π)
y=(b/10)π
y=b/(10π)
のどれのことなのか。

＞積分範囲を[0→a/2]にしてそれを20倍すればいいのか

これは具体的にどのように処理したのでしょう？

お礼

解答してくださりありがとうございます。

質問に不慣れでしてこのような未熟でわかりにくい書き方をしてしまいました。

次回からはよく調べて気をつけて質問いたします。

ありがとうございましたm(_ _)m

補足

わかりづらく、粗末な書き方をしてしまいごめんなさい。
肝心の絶対値は書き忘れていました。正しくは
y=(1/(10a))∫[0→10a] b|sin(2πx/a)|dx
です。