テーラー展開を応用して。。。。

質問

√2の近似値の計算に(1+X)のα乗のテーラー展開を用いる。という宿題が出たんですが、、、、、途中までは授業中にやって「後はこれらを電卓で9ケタまで計算して合計するだけです。人それぞれ値は違ってかまいません。」って言われたのですが。。。。「？？？？？？？」なんですが。。。。(汗)電卓で計算するだけなのにどうして値が違ってくるの・・・？？？実際に友達と計算結果を比べても同じなんですが・・・・？？しかもぜんぜん近似値になってないし。。。1．01015254453って。。。。はぁ。。。。剰余項とかも関係してるのかなぁ・・・？？全体的に意味わかりません。

回答No.3

mikelucky · ベストアンサー

再びmikeluckyです

老婆心ながらちょっと補足
そんなのいらんと思ったら無視してください。

√2の近似には

√2を(1+x)^α　を使って、しかもx<<1という条件で表さねばなりません。

x=1だとちょっと大きすぎるので一工夫

√2=（ある値）×(1+x)^α

と表してみようと考えたわけです

ここである値を(7/5)にしてみると(この値はあとでうまく行くように考えられた値　よって別の値を使っても近似できる。余裕があればどんな値なら適当か考えてみてもいいかも。)

√2=(7/5)×√(50/49)
=(7/5)×(50/49)^(1/2)
=(7/5)×(49/50)^(-1/2)
=(7/5)×{1-(1/50)}^(-1/2)

このように変形でき、{1-(1/50)}^(-1/2)の部分は
(1+x)^αになっており、ｘも1より十分小さくなっています。

あとはテイラー展開をして(7/5)かければ、近似ができます。

先生はテイラー展開を実例を交えてご説明になったようですね。
それでちょっと混乱してしまったようですが、ポイントは抑えていると思いますよ。

＞高校と違って大学ってバンバン先生に質問しにくくなっちゃった
質問はおおいに結構と思いますよ。Good Luck!

回答No.2

mikelucky

テイラー展開はそれであってますよ

しかし,ノートに書いたとおり
√2=(7/5)×{1-(1/50)}^(-1/2)

ですので(7/5)をかけるのをお忘れかと。

お礼

重ね重ね本当にありがとうございます！！数学は嫌いじゃないので質問しながらがんばります！！

回答No.1

grothendieck

電卓とかコンピュータは10進数を２進数に変換し、演算のビット数とか表現法は処理系によって違います。したがって同じプログラムでも処理系によって最後の一桁の数字ぐらいは異なることがあります。それより√2の近似値に全然なっていないことが問題です。どのような式を用いたのでしょうか。
　(1+x)^(1/2)
　=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3-(5/128)x^4+…
これは交代級数なので誤差は打ち切った次の項で評価できます。参考までに最初の方の近似を書いておくと
1 1.0
2 1.5
3 1.375000
4 1.437500
5 1.398438
6 1.425781
7 1.405273
8 1.421387
9 1.408295
10 1.419205
11 1.409931
12 1.417940
13 1.410932
14 1.417132
15 1.411597
16 1.416578
17 1.412064
18 1.416180
19 1.412407
20 1.415882
21 1.412667
22 1.415652
23 1.41287
このようなテイラー展開はxが小さい時に使われるものです。√2を求めるには良い方法とは言えません。

お礼

ですよねぇ～～～。私が理解力ないために授業中黒板見ながら「いったいこの人何やってんだろ。。。。」って思ってましたもん。でもちゃんと黒板写して後はコレを電卓で計算しろ！って言われた部分を計算しただけなのに。。。
板書は√2は２の2／1乗であり・・・で始まり、突然(私がバカだから突然に感じただけかも。。)√の中に49／50とか書いて49は50に最近接する２乗数、ってことで√49／50＝(1－1／50)の1／2乗で1／50をxと置く(xは0に近いから)んで、√2＝7／5×(1－1／50)マイナス1／2乗そんで、(1－1／50)のマイナス1／2乗を何やかんやしてｉが0～5までの項を式だけ書いて後は各自で計算しろと。。。ううぅ～んノートを見せられれば一番速いんですが、、、Σとか数学用のソフトがないとうまく表現できないです。。。。コレだけじゃまったく何のこと言ってるのか分かりませんね。。。。。grothendieckさんどうも有難うございました。はぁ～～それにしてもあの授業聞いてちゃんとわかった人いるんだろうか。。。。高校と違って大学ってバンバン先生に質問しにくくなっちゃった。。。