テーラー展開

質問

テーラー展開

はじめまして。

一次導関数の差分近似について質問です。

y(x)の関数があるとします。

そこで

dy/dx = {y(x+Δx)-y(x)}/Δx と

テーラー展開によって求めたもので

dy/dx = {y(x+Δx)-y(x)}/Δx-(Δx/2!)*d^2y/dx^2--(Δx^2/3!)*d^3y/dx^3-・・・・・・

は、何が違うのでしょうか？

値が違うのはわかるのですが、後者がよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

y(x) や Δx に条件は必要ですが，２番目の式は厳密な等式で，
１番目の式はそれを近似した式（厳密には等式ではない）です．

y(x+Δx) をテイラー展開すると
　y(x+Δx) = y(x) + y'(x) Δx + y''(x) (Δx)^2/2 + ...
となります．この式を単純に整理すると
　y'(x) = (y(x+Δx) - y(x))/Δx - y''(x) (Δx)/2 - ...
という，２つ目の式が得られます．

ここで，右辺第２項以降はΔxのオーダなので，Δxがとても小さいとすれば，
第１項に対して無視できる大きさだと考えられます．
そこで，それらの項を消したものが
　y'(x) = (y(x+Δx) - y(x))/Δx
という１つ目の式です．

回答No.2

htms42

２つ目の式はｄｙ／ｄｘを求める式ではありません。
ｄｙ／ｄｘが分からないのであれば当然ｄ^2ｙ／ｄｘ^2、ｄ^3ｙ／ｄｘ^3、・・・も分からないはずです。

テイラー展開はｙ(ｘ＋△ｘ)－ｙ(ｘ)の値を△ｘと導関数で表しています。導関数は全て分かっているとしています。

導関数が分かっていないのであればｙ(△ｘ＋ｘ)が分かっていなければいけません。
ｄｙ/ｄｘ＝(ｙ(ｘ＋△ｘ)－ｙ(ｘ))/△ｘ
ｄ^2ｙ/ｄｘ^2＝(ｙ(ｘ＋△ｘ)＋ｙ(ｘ－△)－２ｙ(ｘ))/△ｘ^2
・・・
のようにして求めていくことになるはずです。

どちらかです。
混ぜてはいけないはずです。