テーラー展開するには

質問

e^-xをテーラー展開するということはマクローリン展開すればよいのですか？問題ではxの値が指定されていません。さらに、近似誤差が１％以内となるxの値も問われています。どうすればよいか詳しく教えてください。

回答No.4

endlessriver

たぶんx=0で展開したときの話でしょう。
すると
f(x)=f(0)+xf'(0)+(x^2/2)f''(θx) (0<θ<1)
となります。
すなわち　g(x)=f(0)+xf'(0)=1+x で近似することですから誤差の割合は（f''=f>0 だから）
Δ=|f(x)-g(x)/f(x)|=(x^2/2)f''(θx)/f(x)
　　　　=(x^2/2)f(θx)/f(x)=(x^2/2)e^(1-θ)x
ここで、x<0ならe^(1-θ)x<1となり
Δ<(x^2/2)となり、１％以下の誤差にするには
(x^2/2)=0.01を解いたx以下の値、すなわち、
-0.14<x<0程度の値であれば誤差は１％以下です。

xが正の時は0<(1-θ)<1に注意するとe^(1-θ)x<e^x
となります。この場合もxは小さい値ですから例えば
0<x<0.2とすればe^x<1.3となります。
これを上の式に入れると
Δ=(x^2/2)e^(1-θ)x<=(x^2/2)e^x<(x^2/2)・1.24=x^2・0.62
故にΔ<x^2・0.62=0.01となるのは　x=0.12となります。
これははじめの仮定x<0.2もみたしていますから
概略、0<x<0.12の範囲であれば誤差は１%以内です。

回答No.3

boxeur

多分教科書の中の問題とかじゃないですか？
それならある程度説明が・・・。
どういうことかというと、問題より前にはx=0を中心としたe^xのテイラー展開の説明がしてあり、それに対する練習問題として、y_kou1004さんが載せた問題が付けられている。こんな感じじゃないでしょうか？
このような場合なら、著者がどこを中心として展開すべきか明言しないということも考えられます。(暗黙の了解・・・というものではなく、単なる著者の勘違い＝条件の付け忘れという理由で)

後半の問題について：
１次の項までの近似式は、,
e^(-x)≒1-x
より,近似誤差が1%という条件は,No.2さんの言うように
|(1-x)-e^(-x)|/e^(-x) < 1/100
を解けばよい.

残念ながら数学ソフトが無いので僕はここまでしかわかりません。

回答No.2

bacet14

#1さんが仰る様に問題に不備がある、というのが正しい気がしますが、この場合の「テイラー展開」はマクローリン展開と同義、つまりx=0の周りでの展開と考えて良いのではないでしょうか。「e^x のテイラー展開」という表記をみる場合、x=0での展開以外見たことがないので…という根拠の弱い理由ですが。

で、後半の質問ですが、先の「展開する」問題ではΣを使って無限項展開し、後半ではその内xの2次以降の項を切った式(f(x)=ax+bの形)とe^(-x)との誤差が1%に収まるxなので
|f(x)-e^(-x)|/e^(-x) < 1/100
の解を出せということでしょう。

お礼

|(1-x)-e^(-x)|/e^(-x) < 1/100
この式の解き方が分かりません。

回答No.1

proto

テーラー展開が問題として出題される場合には
「f(x)=e^(-x)をx=aの周りでテーラー展開しなさい」
というように中心が指定されていることが多いように思います
もしない場合には、問題として不適当でしょう

マクロリン展開は、関数をx=0の周りでテーラー展開したもので
テーラー展開の特殊な場合とも考えられるので
マクロリン展開を回答としても満点は貰えないかも知れません
x=x_0やx=aの周りで展開して回答とする方が無難でしょう

また近似誤差を聞く場合
何次の項まで展開するのかによって、誤差は変わってきます
設問をもう一度読み直して見て下さい
「e^(-x)をx=○の周りで□次の項まで展開しなさい」
というような問題ではないですか？

お礼

問題はe^-xをテーラー展開せよ。さらにその結果で、xの１次の項までで近似するとき近似誤差が１％以内となるxの値を求めよ。
これが問題なのですが・・・