テーラー展開を教えてください！

質問

複素数のテーラー展開です。

f(z) = 1/( 1-z^2 )のテーラー展開(z=0まわり)をしたいのですが、部分分数分解を使って、分母が(1+z)と(1-z)の項に分解して，公式を利用してやることは可能でしょうか・・？

ここでいう公式は、1/(1+z) = 1-z+z^2-z^3+・・・
1/(1+z) = 1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+・・・
のことです。
自分でやってみましたが答えとあいませんでした。
f(z)の収束半径は、|z|<1だし、公式と同じ収束半径なのでできるとは思うのですが。。

どなたか助けてください・・できれば途中計算もお願いします。Σ記号OKです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

１／（１－ｚ^2）　＝　１／２・（１＋ｚ）^(-1)　＋　１／２・（１－ｚ）^(-1)

ｆ ＝ １／（１＋ｚ） ＝ （１＋ｚ）^(-1)
ｇ ＝ １／（１－ｚ） ＝ （１－ｚ）^(-1)
と置けば、

ｆ’＝　－（１＋ｚ）^(-2)
ｆ’’＝　２（１＋ｚ）^(-3)
ｆ’’’＝　－２・３（１＋ｚ）^(-4)
ｆ’’’’＝　２・３・４（１＋ｚ）^(-5)
ｆのｎ回微分　＝　（－１）^n・ｎ！・（１＋ｚ）^(-n-1)

ｇ’＝　（１－ｚ）^(-2)
ｇ’’＝　（１－ｚ）^(-3)
ｇ’’’＝　（１－ｚ）^(-4)
ｇ’’’’＝　（１－ｚ）^(-5)
ｇのｎ回微分　＝　ｎ！・（１－ｚ）^(-n-1)

よって、
与式×２　＝　２／（１－ｚ^2）
　＝　Σ[n=0⇒∞]ｚ^n／ｎ！・（－１）^n・ｎ！・（１＋０）^(-n-1)　＋　Σ[n=0⇒∞]ｚ^n／ｎ！・ｎ！・（１－０）^(-n-1)
　＝　Σ[n=0⇒∞]ｚ^n・（－１）^n　＋　Σ[n=0⇒∞]ｘ^n
　＝　（ｚ^0 － ｚ^1 ＋ ｚ^2 － ｚ^3 ＋ ｚ^4・・・）＋（ｚ^0 ＋ ｚ^1 ＋ ｚ^2 ＋ ｚ^3 ＋ ｚ^4・・・）
　＝　２ｚ^0 ＋ ２ｚ^2 ＋ ２ｚ^4・・・

与式　＝　ｚ^0 ＋ ｚ^2 ＋ ｚ^4・・・
　＝　Σ[k=0⇒∞]ｚ^(2k)
　＝　Σ[k=0⇒∞]（ｚ^2）^k
（できあがり）

これは、公比がｋの等比級数の和なので
与式　＝　（ｚ^2）^0／（１ － ｚ^2）
　＝　１／（１ － ｚ^2）
となり、つじつまが合いました。

お礼

なるほど！ありがとうございました！

回答No.2

info22_

>1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+・・・
>f(z)の収束半径は、|z|<1

これにzの代わりにz^2を代入すれば
1/(1-z^2)のz=0の周りのテイラー展開が得られます。
1/(1-z^2) = 1+z^2+z^4+z^6-z^8+・・・
収束半径も|z^2|<1から |z|<1が導出され、同じになります。