テイラー展開の直感的解釈

質問

自分は物理を学んでる身なのですが

テイラー展開が良くわかりません

普通に使いはするのですが、どうも直感的にわからないというか、何をしてるのかイメージがわきません。

とりあえず１階階微分の項までは意味的にもわかるのですが、それ以降にどんな意味を持っているかが良くわからないのです。

単純な解釈ですが、一回目は勾配×X＝Yってのはイメージがわくのですがそれ以降がちょっと・・・

確かにグラフに書いてしまえば、だんだん近似されて行ってるってのはわかるのですが、あの式によってどんなことが起きてるのか知りたいのです

よろしくお願いします

回答No.5

fsfs

関数空間は∞次元線形空間のですがその元を多項式で近似している、あるいはｘ、ｘ＾２、、、、という一次独立な基底で表している、という感じはどうでしょうか？

回答No.4

moumougoo

f(x) = a0+a1*x+a2*x^2+・・・+an*x^n+・・・
と置いて良い近似が得られるとき
微分してもやっぱ良い近似が得られるはずなので
d^n f/dx^n(x=0) = n! an
なので
an = (1/n!) d^n f/dx^n(x=0)
となって、テイラー展開の式がでます。

丁度、直交関数系で関数近似するときに積分して係数を得るように
微分して原点での値を得るという演算で係数が得られる
という感じでしょうか・・・。

回答No.3

onakyuu

簡単な例として
1/(1-x)
をx=0でテーラー展開するとどうなるでしょう。
テーラー展開の式に当てはめて計算すると、
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+.....
となることがわかるでしょう。
これはよく見ると公比がxの等比級数の和の公式に
他なりません。(ただしｘは１でないことに注意）
このようにテーラー展開自体は厳密な式を与え、
数列の和の公式なども導くこともできるわけです。
近似として使う場合あるいは後の計算で高次が消え
る場合には、x<<1で２次（あるいは３次）以上の
項を無視して考えるわけです。

回答No.2

springside

趣旨はNo.1の方と同じですが、曲線を「成分分解」と言うか「要素分解」していると考えたらいかがでしょうか。

つまり、その曲線を、
　・１次関数（直線）的要素（成分）
　・２次関数（放物線）的要素（成分）
　・３次関数的要素（成分）
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
　・n次関数的要素（成分）
に分解すると考え、それぞれの係数（x、x^2、x^3、...、x^nの係数）が、各要素（成分）の『重み』ということで。

回答No.1

pyon1956

勾配、というよりもその点の近くで、直線で曲線を近似しているのが１階微分の項まで。２階は２次関数、つまり放物線できんじしているわけです。以下順にn階微分でn次整式による近似を行っている、というわけで。