代数の巡回群の問題です。

質問

問題；（Z/5Z）*、（Z/7Z）*、（Z/12Z）*、が巡回群であることを生成元を見つけることにより示せ。

この問題の解答と解説お願いします

回答No.5

tsukita

先の回答者さんが述べている通り、
566nさんがどこまで理解できているのか気になるところですが・・・。

剰余類の代表元を考えると、（Z/5Z）*　は {1,2,3,4}と考えることができる。
※整数を５で割った余りは{0,1,2,3,4}ですが、* がついているので、0を除いています。

このとき、{1,2,3,4}のうち、1以外の元を任意に（←数学における任意の意味はわかってるよね？）選びます。

たとえば、ここでは2を選びました。このとき、
2^1=2
2^2=4
2^3=8=3 mod 5
2^4=16=1 mod 5
というように、“１つの元のべき乗”で(Z/5Z)*の元をすべて
構成することができます。

したがって、(Z/5Z)*は巡回群です。

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．２です～。すいません。

剰余類　って書いてますね。ごめんなさい。

これどっちなのかな？　７Ｚ　を法とする　のかな？

一応、　法を　Ｚ＝１　としてみておいたんだけど。

これもどっちか分からないですね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

rabbit_cat

記法は、* を別にすれば一般的な記法です。
* はかかないで、Z/5Z とだけ書くことが多いですが、
閉包をとっている、ということを強調して * を書く流儀もあります。
ちなみに、剰余類と商群（剰余群）は違うものです。（商群の元が剰余類）

回答No.2

B-juggler

悪いけれど、二項代数の書き方が出来てないよ？

群論どころではないと思うけれど・・・。

＞（Z/7Z）*

これはね、何が言いたいのかは分かるよ。
こっちも元本職だからね。

だけどちょっとひどいよ＞＜

整数全体の集合に対して、７で割ったあまりについて剰余類をとる。
　この表現だと、分母がおかしいんだけど。
そのときに　掛け算　に対して、集合は群の性質を取る。
ってことだろうけれど。

　専門的に言えば　７を法とする剰余類（整数に対して）　位でいいはず。

これが分からないのなら、ちょっと問題だよ・・・。
お金払って勉強しているんだろうから、もうちょっと分からないところを書いてくれるかな？

元代数学の非常勤講師。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

本当を言えば、お金取りたいところだね、こういうのは。

回答No.1

rabbit_cat

元を１個なんでもいいからもってきて、そのべき乗を考えてみれば終わりです。

正直にいうと、この問題が分からないってことは、そもそも、巡回群の定義、あるいは、商群の定義、などの基本的な話がわかっていない、ということです。
どこまでは分かっていて、何が分かっていないのか、を書いてくれないと説明しようがないです。。