代数の次の問題を教えてください

質問

代数の次の問題を教えてください

(1)3次対称群S3においてб=(1,2)と交換可能な元をすべて求めよ
(2)4次対称群S4においてб=(1,2)と交換可能な元をすべて求めよ

(3)4次対称群S4の部分群で位数が3以下のものをすべて求めよ
(4)4次対称群S4の巡回部分群で位数が4のものをすべて求めよ
(5)τбτ^-1=(145)(23)をみたすτを1つ求めよ

(1)(2)は確認のためなので答えのみお願いします
(3)(4)(5)はちょっとした解説をつけていただけるとありがたいです

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

(5)のσが何を指すのか分かりません。もし、(1)(2)のσと同じなら、その位数は2で、(145)(23)の位数が6ですから、このようなτは存在しません。

(1)(2)(3)(4)については、小難しく考える必要がなく、単純作業で答に到達すると思います。S3の位数が6、S4の位数が24で、どちらも小さな群ですから、すべての元について片端から条件に合うかチェックしていくだけです。

(1)の答は、単位元と(12)

以下、S4の元で、1,2,3,4をα、β、γ、δに置換するものを、[α、β、γ、δ]で表すことにします。また、S4の元をa,...,zとして、次のように置きます。
　　a=[1,2,3,4]（単位元）
　　b=[1,2,4,3]
　　c=[1,3,2,4]
　　d=[1,3,4,2]
　　e=[1,4,2,3]
　　f=[1,4,3,2]
　　g=[2,1,3,4]
　　h=[2,1,4,3]
　　i=[2,3,1,4]
　　j=[2,3,4,1]
　　k=[2,4,1,3]
　　l=[2,4,3,1]
　　m=[3,1,2,4]
　　n=[3,1,4,2]
　　o=[3,2,1,4]
　　p=[3,2,4,1]
　　q=[3,4,1,2]
　　r=[3,4,1,1]
　　s=[4,1,2,3]
　　t=[4,1,3,2]
　　u=[4,2,1,3]
　　v=[4,2,3,1]
　　w=[4,3,1,2]
　　x=[4,3,2,1]

(2)の答は、a,b,g,h

(3)について

位数が3以下の群はすべて巡回群だから、a,...,zのうち位数が3以下のものを抜き出せばよい。a,...,zのうち、数字を1個でも固定するものは、S3の元と考えて良いから、当然、位数が3以下になります。よってa～g,i,l,m,o,p,t,u,vの位数が3以下です。そのほか、h,q,xの位数が2であることは容易に分かります。以上を整理して、S4の位数3以下の部分群は、次の14個です。
　　位数1 <a>
　　位数2 <b>, <c>, <f>, <g>, <h>, <o>, <q>, <v>, <x>
　　位数3 <d>=<e>, <i>=<m>, <l>=<t>, <p>=<u>

(4)について

上以外の元j,k,n,r,s,wの位数は4です。よって、S4の位数4の巡回部分群は、次の3個です。
　　<j>=<s>, <k>=<n>, <r>=<w>

お礼

ありがとうございます。この回答をもとにしっかり理解したいと思います。

回答No.2

koko_u_u

(2)を解く際に、(1)の結果を利用したのかどうかを補足にどうぞ。

回答No.1

napukun

＞(1)(2)は確認のためなので答えのみお願いします
ならば自分の考えも書くべきです。

宿題禁止なので、自分はこう思うんだけど正解はどうなの？
みたいな感じで質問しないと削除されちゃいますよ。

ちなみに俺には問題の意味すらわかりません