巡回群について

質問

複素数体の乗法群について教えてください。

複素数体の乗法群 C*＝C＼{ 0 } を考える。
τ３= cos ( π / 3 ) ＋ i sin ( π / 3 )
τ５= cos ( π / 5 ) ＋ i sin ( π / 5 ) ∈C*
とおく。
τ3、τ5 で生成されるC*の部分群＜複素数体の乗法群について教えてください。

複素数体の乗法群 C*＝C＼{ 0 } を考える。
τ３= cos ( π / 3 ) ＋ i sin ( π / 3 )
τ５= cos ( π / 5 ) ＋ i sin ( π / 5 ) ∈C*
とおく。
τ3、τ5 で生成されるC*の部分群＜τ3 , τ5＞が巡回群であることを示したいのですが…

＜τ3 , τ5＞と＜τ15＞が同型であることは
どのようにしたら証明することができますか？

よろしくお願いします。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

同型なだけでなく、集合として一致します。

(τ15)^5 = τ3, (τ15)^3 = τ5 .....(☆)
ですので、
(τ3)^2×(τ5)^2
= (τ15)^10×(τ15)^6
= (τ15)^16
= (τ15)^1 (← (τ15)^15 = 1 より) ......(★)

(☆)より、
＜τ3, τ5＞ ＝ ＜(τ15)^5, (τ15)^3＞ ⊂ ＜τ15＞

(★)より、
＜τ15＞ ＝ ＜(τ3)^2×(τ5)^2＞ ⊂ ＜τ3, τ5＞

よって、
＜τ3, τ5＞ ＝ ＜τ15＞

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございました!