巡回群について

質問

１、位数が素数の群は巡回群であることを示せ。
２、加法群Ｑは巡回群かどうか示せ。

いろいろ調べてみたのですがどの回答も的を得ずいまいちよく理解できなかったのでどなたか教えてください。

回答No.1

yoikagari

(1)Gを位数が素数pの巡回群とする。
gを単位元eとは異なるGの元とする。…※
g^p=eとなる
(わからなければ代数学のテキストを参照ください)
gの位数をnとする(要するにg^n=eとなるような最小の元)
nはpの約数となるから、n=1あるいはpとなる。
(わからなければ代数学のテキストを参照ください)
n=1と仮定すると、g=eとなって※に反する。
よってnの位数はpとなる。
ここで巡回群<g>を考えると<g>はGの部分群で位数はpとなる。
したがって、G=<g>となります。

(2)
Qを加法巡回群と仮定します。
Q=<a>
na＜b＜(n+1)aとなる有理数bは明らかに<a>に含まれないが、Qに含まれるので不合理。
(有理数の稠密性の定理より出ます。)