代数学の、群の問題を教えて下さい。

質問

nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。

(1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。
(2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。
という問題です。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

nは正の整数とする
Gは位数nの巡回群とする
(1)
Gは位数nの巡回群だから
巡回群の定義から
Gの生成元xに対して
G=<x>={x^k|k∈Z}
となる
f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める
と
任意の元y∈G={x^k|k∈Z}に対して
y=x^kとなるk∈Zがあるから
f(k)=x^k=yとなるから
fは全射である

m∈nZとすると
m=nkとなるk∈Zがある
Gの単位元をeとすると
Gの位数はnだから
f(m)=x^m=x^{nk}=(x^k)^n=e
だから
m∈Kerf
だから
nZ⊂Kerf

m∈Kerfとすると
f(m)=x^m=e
xの位数はnだから
mはnの倍数となる
m=nkとなるk∈Zがある
m=nk∈nZ
Kerf⊂nZ
(nZ⊂Kerf)&(Kerf⊂nZだから)
∴
Kerf=nZ

(2)
{k,m}⊂Zに対して
f(k+m)=x^{k+m}=(x^k)(x^m)=f(k)f(m)
となるから
fは準同型だから(1)から
fはZからGへの全射準同型だから
準同型定理から
Z/Kerf～同型～G
(1)からKerf=nZだから
∴
Z/(nZ)～同型～G

お礼

助かりました。どうもありがとうございます