自己同型群について。

質問

Z：整数の作る加法群、Z/9Z：位数９の巡回群、ｐ：Z→Z/9Z　(自然な射影)　とします。
(1)σ(ｐ(１))=p(2)を満たすσ∈Aut(Z/9Z)を求めよ。
(2)Aut(Z/9Z)の位数を求めよ。
(3)Aut(Z/9Z)の元の位数として表れる数を列挙せよ。

以上が問題です。またAut(Z/9Z)は具体的にどのような写像になるのでしょうか？
解説付きでお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

Z:整数加法群
Z/9Z:位数9巡回群
p:Z→Z/9Z
n∈Z→p(n)=[n]
Z/9Z={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}
とする
(1)
σ([1])=[2]
σ([2])=σ([1]+[1])=σ([1])+σ([1])=[2]+[2]=[4]
σ([3])=σ([2]+[1])=σ([2])+σ([1])=[4]+[2]=[6]
σ([4])=σ([3]+[1])=σ([3])+σ([1])=[6]+[2]=[8]
σ([5])=σ([4]+[1])=σ([4])+σ([1])=[8]+[2]=[1]
σ([6])=σ([5]+[1])=σ([5])+σ([1])=[1]+[2]=[3]
σ([7])=σ([6]+[1])=σ([6])+σ([1])=[3]+[2]=[5]
σ([8])=σ([7]+[1])=σ([7])+σ([1])=[5]+[2]=[7]
σ([0])=σ([8]+[1])=σ([8])+σ([1])=[7]+[2]=[0]
と定義されるσは
Z/9ZからZ/9Zへの自己同型写像だから
σ∈Aut(Z/9Z)

(2)
[k]∈Z/9Z,0≦k≦8
kと9が互いに素とすると
mk+9j=1
となる整数m,jがある
mk=1(mod9)
となる整数0<m<9がある
[k]の乗法逆元[m]がある
k倍写像
σk([n])=[kn],([n]∈Z/9Z)
の逆写像があるから
kと9が互いに素のとき
σkはZ/9ZからZ/9Zへの自己同型写像となる
σ0([1])=[0]=σ0([0])だからσ0は同型でない
σ3([3])=[0]=σ3([0])だからσ3は同型でない
σ6([3])=[0]=σ6([0])だからσ6は同型でない
k=1,2,4,5,7,8
のときkと9が互いに素だから
σ1([n])=[n],([n]∈Z/9Z)
σ2([n])=[2n],([n]∈Z/9Z)
σ4([n])=[4n],([n]∈Z/9Z)
σ5([n])=[5n],([n]∈Z/9Z)
σ7([n])=[7n],([n]∈Z/9Z)
σ8([n])=[8n],([n]∈Z/9Z)
の6個が
Z/9ZからZ/9Zへの自己同型写像だから
Aut(Z/9Z)={σ1,σ2,σ4,σ5,σ7,σ8}
の位数は
6

(3)
Aut(Z/9Z)の位数6の約数
1,2,3,6

σ1([n])=[n]の位数1
2^6=(2^4)(2^2)=7*4=1(mod9)
5^6=25^3=7^3=4*7=1(mod9)だから
σ2([n])=[2n]の位数6
σ5([n])=[5n]の位数6
4^3=7*4=1(mod9)
7^3=4*7=1(mod9)だから
σ4([n])=[4n]の位数3
σ7([n])=[7n]の位数3
8^2=1(mod9)だから
σ8([n])=[8n]の位数2

お礼

丁寧な解答有難うございます。勉強になりました。

回答No.3

ramayana

おっとすみません。ANo1さんとかぶってしまいました。

回答No.2

ramayana

(1) について

σ(ｐ(0))、σ(ｐ(1))、…、σ(ｐ(8)) をすべて示せば、σを求めたことになる。

(2) について

σ∈Aut(Z/9Z) とする。σ(ｐ(1)) を定めるとσが完全に決定される。σ(ｐ(1)) になり得るのは、ｐ(0)、ｐ(1)、…、ｐ(8) の高々 9 種類しかない。このうち自己同型を定めるものを抜き出せば、その個数が Aut(Z/9Z) の位数。

(3) について

(2)で得られた自己同型のすべてについて位数を計算すればよい。

「Aut(Z/9Z)は具体的にどのような写像になるのでしょうか？」について

Aut(Z/9Z)は写像でない。