代数学の巡回群の問題なんですが…

質問

Ｇを群、ａはＧの元とする。ａ＾ｎ＝ｅとなるＺの元ｎがあるとする。このようなｎのうち、最小のものを取ってＮとする。
このとき、＜ａ＞＝｛ａ＾ｍ　｜　ｍ＝１，２，…，Ｎ｝であることを示せ。
という問題なんですが、
自分だけで考えるとどうしても
＜ａ＞＝｛ａ＾ｍ　｜　ｍ＝０,…,Ｎ－１｝
になってしまいます。
アドバイスよろしくお願いします。

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

つまり

＜ａ＞＝｛ａ＾ｍ　｜　ｍ＝１，２，…，Ｎ｝

＜ａ＞＝｛ａ＾ｍ　｜　ｍ＝０,…,Ｎ－１｝

で違うのは、
「a^0とa^Nのどっちが入るか」
だけの違いですよね？
だったら、a^0＝a^N＝e
だから、あまり悩むこともないような気がします。

一般の群について考えるとき、
a^0
というのを出すのはまずいかもしれません。
xが、(0を含まない)自然数のときは、
a^xは簡単に定義できます。
しかし、
a^0＝e
というのは、改めて定義し直さなければいけません。
(これは整数での計算の場合も同じです)
だから、a^0を使わずに単位元としてはa^Nを使っているのかもしれません。

お礼

ありがとうございます！！
何かとてもすっきりしました。
解答以外の解説もかなり為になりました。

お礼、遅れてごめんなさい。

回答No.1

iwaiwaiwa

a^N=eだから
{a^m|m=1,2,...,N}={a^m|m=0,1,...,N-1}
でよいのでは？

お礼

ありがとうございます！！
複雑に考えていたみたいです。
参考になりました☆

お礼、遅れてごめんなさい。