巡回群について

質問

Ｇは位数Ｎの巡回群とする。ＨはＧの部分群とする。
Ｇ=＜ａ＞、｛ｍは自然数｜ａ^ｍはＨの元｝＝ｈとおく。
（１）任意のａ^ｎ（Ｈの元）のついて１≦ｎ≦Ｎなら、ｎはｈで割り切れることを
　　　示せ。（ヒント：除法の原理）
（２）Ｈ＝＜ａ^ｈ＞であることを示せ。
（３）Ｎ＝１２のとき、Ｇの部分群をすべてあげよ。
という問題なんですが、（１）は除法の原理から
「ｎ＝ｐｈ＋ｑ（ｐ，ｑは正の整数、０≦ｑ＜ｈ）」
という関係式を導いたのですが、解答につながりません。
（１）～（３）のアドバイスお願いします。

回答No.2

yoo_20052005 · ベストアンサー

答えを書いてしまったら勉強にならないと思うのでヒントだけを…。

(1)まず、注意すべきことは巡回群の任意の部分群はまた巡回群だと言う事です。つまり、Hは巡回群です。ここでa^hはhの定義よりHの元ですよね。ということはHの任意の元はこのa^hを何乗かしたものと…ここまで考えますとn がhで割り切れる事が出るはずです。

(2)これは一つずつ書き出していけばわかるのでは？位数１２の群の部分群の位数の候補は2,3,4,6(+自明なもの)の高々４つ（＋自明なもの）です。これに巡回群という条件をあわせて考えましょう。

お礼

回答ありがとうございます！！
このヒントを元にがんばって解いてみます。

回答No.1

iwaiwaiwa

ｈは集合ですか？それとも自然数ですか？
｛ｍは自然数｜ａ^ｍはＨの元｝＝ｈ
の部分から見ると、集合に見えますが、
０≦ｑ＜ｈ
の部分から見ると、自然数ですが…。
ｍは自然数という条件の他にも何かあるような気がしますが。
例えば、最小の自然数とか。

補足

すみません！！
min｛ｍは自然数｜ａ^ｍはＨの元｝＝ｈ
でした。
お願いします(>_<)！！！