巡回群の生成元について

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

「加法群Z、整数n≧0の時
商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される位数ｎの有限巡回群である。（代数系入門　松坂和夫著　p.78）」
とあるのですが、

商群Z/nZの1を含む剰余類は｛1,1±n,1±2n,・・・｝、
2を含む剰余類は｛2,2±n,2±2n,・・・｝であり、

1を含む剰余類｛1,1±n,1±2n,・・・｝を
ある整数kでｋ倍しても2を含む剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝
にはならないと思うので、
全ての元が生成元aの整数ｋ倍で表される（加法の場合）という巡回群の定義に合わず、
「商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される」というのがおかしいとおもうのですが、どうでしょうか？

どなたか私の考えの間違いをご指摘ください。
よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>「1を含む任意の部分集合Sによって生成される」
>に書き換えましても意味が通るような気がするのですが。

「1で生成される」集合が「1を含む任意の集合で生成される」のは
当たり前です．

・「1個でいいよ」っていわれてるのに，余計なものを含めて100個提示する
・1+1の答えは？と聞かれて「整数の中にある」

こんな風にいってるのとほとんど同じだということが分かりますか？
生成元の個数はできるだけ小さくしないと無意味です．
＃任意の環の生成元の集合は自分自身・・
＃生成元の集合の定義には合致しますが無意味です．
＃こういうのを「自明な例」といいます．
＃＃もっとも「自明な例」は該当するものが
＃＃なにはともあれ存在することを示すのには有効

そして，わざわざ「大きなもの」を設定しておいて
>そのように言い換えまして、
>1を含む任意の部分集合Sの元である1を生成元として
と，また「1」をひっぱり出しているのはなぜです？

論理的には間違いではないですけども
1を含む部分集合なるものをつくって，その部分集合からまた1を取り出してそれだけを使うなら，わざわざ広げなくていいでしょう．

それと・・・やっぱり剰余類の定義が分かってないようです．

>例えば2を含む剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝の元は
>それぞれk＝2,2±n,2±2n・・・として全て
>k×(生成元１)で表せる。

違います．Z/nZの生成元1とは，
{1,1±n,1±2n,・・・}
であり，これを普通は[1]とか書きます．
そして剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝は[2]と書きます．
このとき，
[2] = [1] + [1] です．
また，これを [2] = 2 * [1] と書きます．
決して，その意味でk=2であって，kを複数個とるのではありません．

>こちらの方も未解決でして、お時間がありましたらよろしくお願いします。
未解決も何も・・・あっちのNo.1さんの回答ですべてです．

お礼

とても詳しいご回答本当にどうもありがとうございます。

加法群の知識が全く欠如しておりました。

>[2] = [1] + [1] です．
これが分かっていませんでした。
「nZ＋nZ＝nZ」なのですね。

お陰で様で誤った理解で先に進まずに済みました。
数学が好きで一人で参考書で勉強しているのですが、本当に難しいです。
つまずく度に参考書の数が増えていき、有名な参考書をほとんど全て揃ってしまいました。
それでもなかなか分からないですね。（笑）

本当に助かりました。

QNo.4133236の方もどうもありがとうございます。
こちらもお陰様で解決いたしました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

左作用の質問 QNo.4133236 もそうなんだけど
代数をやるには思い込みは捨てましょう．
そして「定義に忠実にひたすら愚直に」計算しましょう．

今回のもNo.1さんご指摘のように
剰余類の定義に従えばいいだけです．

=========
Zそのものが1で生成されるんだから，
Zの任意の元は (1+1+・・・+1) とかける．
だからZ/nZの元は [1+1+・・・+1] = [1]+・・・+[1] となる．
つまり，[1]が生成元．
Z/nZが何を表している群なのかを定義から出発して
理解しましょう

お礼

どうもありがとうございます。とても参考になりました。

まだちょっと不安なのですが、自分の勘違いと思われる箇所が見つかりました。N0.1さんの所にも書いたのですが、
新たに自分なりに解釈し直してみました。

私の考え方なのですが、

>「加法群Z、整数n≧0の時
商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される位数ｎの有限巡回群である。（代数系入門　松坂和夫著　p.78）」

の
>「1を含む剰余類によって生成される」
の所を
「1を含む任意の部分集合Sによって生成される」
に書き換えましても意味が通るような気がするのですが。

そのように言い換えまして、
1を含む任意の部分集合Sの元である1を生成元として
例えば2を含む剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝の元は
それぞれk＝2,2±n,2±2n・・・として全て
k×(生成元１)で表せる。

と考えたのですが、私のこの解釈は合っているでしょうか？

>そして「定義に忠実にひたすら愚直に」計算しましょう．
定義そのものが難しくて、自分なりに予想して解釈し先に読み進むのですが、後でつじつまが合わなくなり、再び定義を解釈し直すというのが度々です。

>左作用の質問 QNo.4133236 もそうなんだけど
こちらの方も未解決でして、お時間がありましたらよろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

>1を含む剰余類｛1,1±n,1±2n,・・・｝を
>ある整数kでｋ倍しても2を含む剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝
>にはならないと思うので、

2倍です。剰余類としての演算がなにかを再度考えましょう。

お礼

いつもどうもありがとうございます。
お陰様で無事解決致しました。

やはりご指摘のとおり、剰余類の加法の演算の知識が欠如しておりました。

どうもありがとうございます。

補足

ご回答どうもありがとうございます。お世話になっております。

回答と参考書の定義を何度か読み直しまして、

>「加法群Z、整数n≧0の時
商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される位数ｎの有限巡回群である。（代数系入門　松坂和夫著　p.78）」

の
>「1を含む剰余類によって生成される」
の所を
「1を含む任意の部分集合Sによって生成される」
に書き換えましても意味が通るような気がするのですが。

そのように言い換えまして、
1を含む任意の部分集合Sの元である1を生成元として
例えば2を含む剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝の元は
それぞれk＝2,2±n,2±2n・・・として全て
k×(生成元１)で表せる。

と考えたのですが、私のこの解釈は合っているでしょうか？

もしまた間違えているようでしたらご指摘頂けるとありがたいです。
よろしくお願いします。