本当に巡回群なの？

質問

Gを有限群とする。Tを一次元トーラス（＝R/Z）とする。f:G→Tを準同型写像とする。
Hをfの核　i.e.｛x∈G|f(x)=0}　とする。このとき、G/Hは巡回群になるらしいのですが、理由がわかりません。

準同型定理より、f(G)が巡回群であることを示せばよいのですが、うまくいきません。トーラスの性質を何か使うのでしょうか？？？

ご教授をお願いします。

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

f(G)はR/Zの有限部分群ですが、
R/Zの有限部分群は巡回群しかないと思います。
理由を簡単に述べます。
この有限部分群の元を{m_1/n_1,....,m_k/n_k}とします。
ここでa/b(a,bはたがいに素）を含むなら1/bもしたがって
c/bを（cは任意の整数）をふくみます。
なぜならka=1(modb)なる整数kが存在するからです。

従って上の有限部分群は
{1/n_1,....1/n_k}で生成されます。

つぎに1/nと1/mを含むなら1/N(Nはn,mの最小公倍数）
を含みます。なぜならkm+ln=d(dはn,mの最大公約数）
となる整数ｋ、ｌが存在するからです。

これより上の有限部分群はn_1,...,,n_kの最大公約数をNとすると1/Nで生成され巡回群となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。質問内容は、

　１次元トーラスR/Zの有限部分群Aは巡回群であることを示せ。

に還元されるのではということですね。
私の方でも下記に証明を考えてみました。

Aの位数をmとし、Aの任意の元xを　a＋Z　a∈R　と表す。
有限群の初歩より、m(a＋Z)=0　i.e　ma∈Z　となる。
よって、a=n/m　n∈Z　と書ける。ここに、mとnは互いに素とは限らない。

特に、aが有理数であるから、適当に、代表元をZで調節することにより、0≦n/m<1　と仮定してよい。
よって、Aは、{0,　1/m＋Z,　2/m＋Z,　・・・　,(m-1)/m＋Z}　に含まれることになる。

ところで、{0,　1/m＋Z,　2/m＋Z,　・・・　,(m-1)/m＋Z}の元の総数はmであるから、結局、A={0,　1/m＋Z,　2/m＋Z,　・・・　,(m-1)/m＋Z}となり、Aは位数mの巡回群となる。■

しかし、証明はできたけど、本当に「１次元トーラスR/Zの有限部分群Aは巡回群である。」は正しいかな。ブルバキの代数の本とかに、載っているいると安心しますけど。。。

回答No.2

totoro7683

No.1です。その証明でいいと思います。
視覚的に見やすくするには加法群R/Zは乗法群S={|z|=1}（絶対値１の複素数の集合）同型と考えると見やすくなるかもしれません。Sの位数ｍの部分群Aの元はz^m=1のどれかです。z^m=1はｍ個の点からなるのでちょうどAと一致する。（やっていることは同じですが）

お礼

御回答ありがとうございます。おかげで、問題が解決できてよかったです。