位数８の群の例

質問

位数８の群の例を挙げよ(同値でないもの挙げなさい)。
という問題なのですが、
答えとして
巡回群Z_8,(Z_4*Z_2),(Z_2*Z_2*Z_2),
正2面体群D_4,4元数群Q
であると思うですがこれは例では無いのだと思いまして、
この例の作り方を教えていただきたいと思いまして投稿いたしました。
どなたかわかる方お願いいたします！

回答No.1

adinat · ベストアンサー

おっしゃる意味がいまいちつかめませんが、位数8の群は同型をのぞくとその5つしかありません。逆に言うとたとえば正方形の自己同型全体（90度回転と反転から生成される）とかそういうある意味具体的な意味を持つ群だとか、あるいは生成元と基本関係式で群を明示するだとか、はたまた群表を書いてこのような群だといったところで、とにかく上の5つのいずれかの群と本質的に同じものができるわけです（つまり同型だということ）。いずれにせよ上記5つの群を与えることが、位数8の群の例示ということになっていると思います。

ただ正2面大群と四元数群といっただけでは少し分かりにくい（超有名例だから別によいですけど）ので、基本関係式でも書いておけばよいかとも思います。