群同型,可換群,巡回群についてのQ&A

質問

よろしくどうぞ。素朴な疑問です。お答えいただけましたら大変幸いでございます(反例も賜れれば尚幸いです)。

Zを整数全体の集合,l,k,m,n,m',n'∈Zで ～は群同型を表す。

Z_l～Z_k且つZ_m～Z_nなら Z_l(+)Z_m～Z_k(+)Z_nは正しいでしょうか?

Z_mはmがどんな時,可換群?

Z_mはmがどんな時,巡回群?

Z_m(+)Z_nはm,nがどんな時,可換群や非可換群になるのでしょう?

Z_m(+)Z_nはm,nがどんな時,巡回群や非巡回群になるのでしょう?

gcd(m,n)=1ならZ_mn～Z_m(+)Z_nは正しいでしょうか?

gcd(m,n)≠1ならZ_mnは何と同型になるのでしょうか?またZ_m(+)Z_nは何と同型になるのでしょうか?

Z_m(+)Z_nとZ_m'(+)Z_n' (但し,mn=m'n')はどんな時,同型でどんな時に非同型になるのでしょうか?

回答No.1

33550336

これは一種の丸投げではないでしょうか…？
まあヒントだけ…

まず、整数全体からなる群は可換ですので、その剰余群も可換です。

一般に有限生成の加法群はZおよびZの剰余群の直和で表すことができ、
さらにねじれ部分に「ある制限」を加えればその表示は一意になります。
PID上有限生成加群の構造定理という定理の系として上記の主張が導かれます。（有限生成アーベル群の基本定理といいます。）
有限加法群が巡回群になるための必要十分条件は、その「ある制限」のもと、ひとつの直和因子と同型になることです。

この定理がわかっていれば質問に対する回答も自ずとでてくるはずですので、あとは自分で考えましょう。