空間図形の問題

質問

ある四角錐Ａ－ＢＣＤＥは、底面の四角形ＢＣＤＥが正方形で、底面と辺ＡＢは垂直です。
ここで、ＡＰ：ＰＤ＝５:３となるように点Ｐをとります。
底面の正方形の１辺の長さと辺ＡＢの長さが、ともに１２cmのとき、四角錐Ａ－ＢＣＤＥを、点Ｐを通り底辺の四角形ＢＣＤＥに垂直で、しかもＣＥに平行な平面で切る場合の、切り口の図形の面積はいくつか。

という問題なのですが、
まず、ＡＰ：ＰＤ＝５：３より、ＡＰの長さを１５/２√３というところまではわかるのですが、そのあと、切り口の図形がどのような形になるかがわからないため、考えが先に進みません。この先の解法についてどなたかアドバイスをいただけないでしょうか？

回答No.3

kmb01 · ベストアンサー

平面図(上から見た図)を書いてみましょう。
正方形B(A)CDEと対角線B(A)Dを5:3に内分する点Pとなるはずです。
これだけでも切り口が3角形になると分かりますが、
平面が面ACD、面AED、面BCDEの3つとしか交差しないことからも
切り口が3角形だと分かります。
あとは底辺と高さで計算すればいいはずです。

補足

ということは、ＰからＢＤにおろした垂線が求める三角形の高さになり、その大きさは相似を用いれば、9/2ですよね？
次に、切断面がＣＤ、ＤＥと交わる点をＰ，Ｑとすれば、ＰＤ＝ＤＱ＝９となることから、ＰＱ＝9√2となり、求める断面の面積は、81√2/4(4分の81ルート2)でいいんですか？

回答No.6

eatern27

通りすがりです。

＞求める断面の面積は、81√2/4(4分の81ルート2)でいいんですか？

いいと思いますよ。私の計算(暗算ですが)でもそうなりました。

たいしたことではないですが、
＞ここで、ＡＰ：ＰＤ＝５:３となるように点Ｐをとります。
の部分にＰがあるので、

＞断面がＣＤ、ＤＥと交わる点をＰ，Ｑとすれば、
の部分では、別の文字にした方が誤解がないです。

お礼

わざわざ計算してくださりありがとうございます。

回答No.5

yahtzen

このような問題ではいかに空間といいますか図形のイメージができるかということにつきます。つまりご自分でわかりやすい角度で作図ができるかなのです。真横や真上などでは空間のイメージができにくいですから、個人的には俯瞰したもので描いたほうがいいと思います。(それを習得しないとこれからも空間図を真上真横など描いていたら時間もかかりますし混乱の元だと思いますよ) せっかくの機会ですので、いろいろと試してみてください(作図がお見せできないので申し訳ないのですが)。いろんな角度を試してみることはきっとのちのちの糧になります。基本はX-Y-Z座標で、X-Yをどの向きにするかです。

ちなみにPがADの中点もしくはDよりですと図形は三角形で、Aよりですと五角形です。(APやPDの長さは必要ありません) 作図の練習と思ってがんばってくださいね。アドバイスにもなっていませんが、お許しください。

回答No.4

he-goshite-

紙で工作するのはお済ですか？
それ以外の取り組み方としては，真正面，真横，真上から見た図形を描いてみて御覧なさい。
（これらは，製図法の三面図といいます）
で，その次に切り口の面に垂直な方向から見た図を描いてみて御覧なさい。
ほーら，見えてきたでしょう？

回答No.2

noname#6829

ヒント(^^

底面と辺ABは垂直です。底面は正方形です。
ということは、この立体をABDという面で切ったら、この面を挟んで左右対称な形になっている、ということはわかりますか？
そして、線分CEは、このABDと垂直であることはわかりますか？

回答No.1

ssaass

面ABDに関して対称な図形だということはおわかりですね？それなら問題の切り方をすればその切り口も面ABDに関して対称になりそうですよ。

立体図形の問題は、いかに頭の中で同じ図形を作って切ったり回転させたりできるかですよね。もしわからなければ最初のうちは紙で実際に作ってみるのもいいかもしれません。

補足

そこまではわかるのですが、具体的に三角形になるのか、四角形になるのかなどがわかりません。もう少し具体的なアドバイスはいただけないでしょうか？