数学の、空間図形の問題です。

質問

図に示した立体A－BCDは、１辺の長さが１６cmの正四面体である。点Eは辺AB上にある点で、AE＝１２cmであり、点Fは辺ADの中点である。辺AC上にある点をPとする。EP＋PF＝ｄ cmとして、dの値が最も小さくなるとき、線分APの長さは何cmか。（解説もよろしくお願いします）

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

展開図を描くと添付図のようになる。
d=EP+PFが最小となるのは展開図でEPFが一直線となるときである。
以降展開図で考えることとする。

FEの延長とCBの延長の交点をGとする。
余弦定理より
EF^2=12^2+8^2-2*12*8*cos120°=144ｒう+64+96=304
EF=4√19　(cm)

△BEG=△AEFより
BG=AF(BE/AE)=8(4/12)=8/3 (cm)

△ABCにメネラウスの定理を適用すると
(AE/EB)(BG/GC)(CP/PA)=1
(12/4)((8/3)/((8/3)+16))((AC-AP)/AP)=1

(3/7)((16-AP)/AP)=1
3(16-AP)=7AP
10AP=48
AP=24/5=4.8 (cm) ... (答)

お礼

どうも有り難うございました。

回答No.1

kaminari5656

dの値が最も小さくなるとき,この正四面体の展開図上では
ＥとＰとＦは一直線上にあります。言い換えれば展開図上で
直線ＥＦと辺ＡＣの交点がＰです。

お礼

どうも有り難うございました。