空間図形

質問

宿題で空間図形の問題が出ているのですが、全然解けません。

どなたか途中式と答えをお願いします!!

次の２つの図は、底面の正方形の対角線の長さが６ｃｍ、高さが８ｃｍの正四角柱をもとにして、四角錐を作ったようすを表しています。
点Ｐを正方形ＡＢＣＤの対角線の交点、点Ｑを辺ＢＦ上の点とするとき、それぞれの立体の体積を求めなさい。

という問題です。
なるべく教科書どおりの解き方がいいです。
よろしくお願いします!!

回答No.2

kingkazma

まず左側の問題について

この問題は底面をEFGHとした四角錐として見ることはわかると思います。
なのでまずは底面積を出しに行きましょう。

正方形であることから∠ABCは90°ということが分かります。
また、問題文にAC＝6cmと書いてありますよね。

ここで三角形ABCに着目しましょう。これを平面図形だとみたててください。
BA:BC:AC＝1:1:√2　の直角二等辺三角形ですよね？

この比を使って1:√2＝X:6
　　　　　　　　√2X＝6
　　　　　　　　　X＝3√2
　　　　　と出るのでABとBCは3√2cmとわかります。
これがEFとFGと同じなのは普通にわかりますよね？正方形ですし。
んで底面積が出せるので、式に当てはめると
3√2×3√2×8×三分の一＝48

　　となるので四角錐PーEFGHは48cm3

右側はBからPに垂線をひくとPB:PC:BC=1:1:√2が見えると思います。
PCはACの半分なので3cm　PCとPBは同じなのでPBも3cm

この場合はPBが高さになるのはわかると思いますので普通に計算していくと
こちらも48cm3になります。

計算かくのめんどくて省いちゃってすみません

ちなみにQはBF上とありますが、高さがPBである事にかわりはないので、どこにあっても体積は同じになります。

お礼

参考にさせていただきます。ありがとうございました。

回答No.1

j-mini27

教科書通りという制約が良く分かりませんが、

左側の四角錐について
　底面積は6⋇6⋇1/2でも出せますが、
　三平方の定理から正方形ABCDの一辺が3√2
　（対角線の半分が3の直角二等辺三角形の斜辺）
　3√2⋇3√2=18
　18⋇8⋇1/3=48（cm3）

右側の四角錐について
　底面積は6⋇8=48
　高さは対角線の半分なので3
　48⋇3⋇1/3=48（cm3）

お礼

参考にさせていただきます。ありがとうございました。