図形問題(難しくないと思います)

質問

高１から質問された問題です。

i)長さ12cmの線分ＡＢ上に点Ｐがある。ＡＰ、ＰＢをそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和は、隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積よりも54cm^2大きい。ＡＰの長さを求めよ。ただし、ＡＰ＞ＰＢとする。

そんなに難しくないだろうと予測はつくのですが、イマイチ問題文の意味が分かりません。

ii)１辺の長さ１cmの正方形ＡＢＣＤに内接し、この正方形と１つの頂点Ａを共有する正三角形ＡＥＦを作るとき、ＢＥの長さを求めよ。

ＢＥをｘとおき
ＡＥ＝ＡＦ＝ＥＦ
ＥＣ＝ＣＦ＝1-x
ここから先が分かりません。

詳しく解説して頂けませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

takeches · ベストアンサー

i)
AB=12cmなので、
APの長さを求めよとありますから、
AP=xとします。
すると、BP=12-x ですね。
隣り合う２辺の長さが線分AP、PBと等しい長方形から、
つまりは縦がAP、横がPBということです。
よって、x(12-x) cm^2です。
また、AP、PBをそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和ですから、
APを一辺とする正方形の面積は
x^2
BPを一辺とする正方形の面積は
(12-x)^2となります。
よってこれらの和は
x^2+(12-x)^2 ですね。
後は分かると思いますが、
x^2+(12-x)^2=x(12-x)+54
x^2+144-24x+x^2=12x-x^2+54
-3x^2+36x^90=0
x^2-12x+30=0
解の公式より
x=6±√6
AP＞PBですから6-√6はおかしいです。
よって
(答)6+√6 cm

ii)
Bに最も近い点がEということとして計算します。
EC=FC=1-x というのは分かっていますね。
よってEF^2は
(1-x)^2+(1-x)^2
また、AE^2(=AF^2)は
1^2+x^2
EF=AEよりEF^2=AE^2ですから
(1-x)^2+(1-x)^2=1^2+x^2
2x^2-4x+2=1+x^2
x^2-4x+1=0
解の公式より
x=2±√3
2+√3 cm ならば、一辺1cmをオーバーしてしまうので
(答)2-√3 cm

回答No.5

noname#71905

ANo.1です。
すみません。2次方程式の計算を間違えてました。
訂正します。

2次方程式を解いて、x＝2±√3
　0＜x＜1　より、x＝ＢＥ＝2－√3

参考　
　ＢＥ＝2－√3＝0.26794919243112270647255365849413…
　ＥＣ＝ＣＦ＝1－(2－√3)＝√3－1≒0.73205080756887729352744634150587…
　ＡＥ＝ＡＦ＝ＥＦ＝√2{1－(2－√3)}＝√6－1≒1.4494897427831780981972840747059…

回答No.3

kkkk2222

>>ＡＰ=x,,,ＰＢ=y,,,x+y=12,,,x>y

(x^2)+(y^2)=xy+54
((x+y)^2)-2xy=xy+54
144-54=3xy,,,90=3xy,,,xy=30

(t-x)(t-y)=0
(t^2)-(x+y)t+xy=0
(t^2)-12t+30=0

t=6±√6
(x,y)=(6-√6,6+√6) 不適。
(x,y)=(6+√6,6-√6) 適する。

ＡＰ＝6+√6 。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

>>ＢＥ=ｘ,,,ＡＥ=ＡＦ=ＥＦ,,,ＥＣ＝ＣＦ＝1-x

(1^2)+(x^2)=((1-x)^2)+((1-x)^2)

1+(x^2)=2-4x+2(x^2)
0=(x^2)-4x+1

x=2+√3 不適。
ＢＥ=ｘ=2-√3　。

回答No.2

lelouch01

i)のみ解説。（僕自身高校１年ですので一部曖昧な説明ですが参考になればうれしいです。）

下のように線分にPを入れる。
（ただし、AP>PBの仮定があるから左を多めに取る）

A------------------|(P)------------B

ABは12cmある。よってAPを仮にxcmとするとPBは(12-x)cmになる。

A------------------P（x)cm

P------------B (12-x)cm

設問通りにAPを辺とする正方形の面積をだす。

AP=(x)cmなので正方形の面積をだす公式通りに2乗する。
（APを辺とする正方形の面積＝A）

A=x^2(平方センチ)

PBを辺とする正方形の面積も同様にだす。
（PBを辺とする正方形の面積＝B）

B=(12-x)^2(cm^2)

２つの面積の和は「A+B」になる。
よって、上の解を代入して

A+B = x^2 + (12-x)^2

とりあえず、これで第一段階終了。

次に「隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積」をだす。

この問題は次のように解釈できる「縦はAPcm、横はPBcmの長方形の面積を出せ」と解釈できる。

よって面積は

AP × PB = x(12-x)

まとめると、

ＡＰ、ＰＢをそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和は「x^2 + (12-x)^2」…以降X

隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積は「x(12-x)」…以降Y

これを「AはB面積よりも54cm^2大きい」

から、このままだと「X ≠ Y」なので「＝」にさせて求められるようにするために、

過不足の54cm^2を「X-54 = Y」もしくは「X = Y+54」とさせることで計算可能。

どちらでやっても答えは同じだが、今回は「X = Y + 54」で計算する。

X = 「x^2 + (12-x)^2」

Y = 「x(12-x)」

を代入して「x^2 + (12-x)^2 = x(12-x) + 54」

計算は説明不要だと思うのである程度飛ばします。

x^2 + (12-x)^2 = x(12-x) + 54

……(展開、以降、最大公約数で割る…)

x^2 - 12x + 30 = 0

解の公式をかまして

x = 6±√6 になります。

もちろんマイナスになる可能性は0（マイナスの辺を持った図形は存在しない）ですので「x(AP) = 6+√6」が答え。

一応AP>PBの検証。ABが12cmで半分以上（6cm）なので問題なし。

答え. APは6+√6cm

回答No.1

noname#71905

i)ＡＰ＝x とすると　ＡＢ＝12　から、ＰＢ＝12－x
　　{ＰＢ＜ＡＰより、　0＜12－x＜x＜12　で、6＜x＜12，0＜12－x＜6}

(1)ＡＰ、ＰＢをそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和
　　x^2＋(12－x)^2
(2)隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積
　　x(12－x)
(1)は(2)よりも54(cm^2)大きい。
　　x^2＋(12－x)^2＝x(12－x)＋54

2次方程式を解いて、x＝6±√6
　6＜x＜12　より、x＝ＡＰ＝6＋√6

確認
　ＰＢ＝6－√6　となり、
　(1)＝(6＋√6)^2＋(6－√6)^2＝84，
　(2)＝(6＋√6)(6－√6)＝30

ii)ＢＥ＝x とおくと、ＥＣ＝ＣＦ＝1－x　　　{0＜x＜1}

(1)直角三角形ＡＢＥで、三平方の定理より
　　ＡＥ^2＝ＡＢ^2＋ＢＥ^2＝x^2＋1

(2)直角二等辺三角形ＥＣＦで、1：1：√2 の比より
　　ＥＦ＝√2ＥＣ＝√2(1－x)

(3)正三角形ＡＥＦで、ＡＥ＝ＡＦ＝ＥＦより
　　ＡＥ^2＝ＥＦ^2

(1)(2)(3)より
　　x^2＋1＝2(1－x)^2

2次方程式を解いて、x＝－2±√5
　0＜x＜1　より、x＝ＢＥ＝－2＋√5

参考　
　ＢＥ＝－2＋√5＝0.236…
　ＥＣ＝ＣＦ＝1－(－2＋√5)＝3－√5≒0.764…
　ＡＥ＝ＡＦ＝ＥＦ＝√2{1－(－2＋√5)}＝3√2－√10≒1.080…