空間図形の問題

質問

ある四角錐Ａ－ＢＣＤＥは、底面の四角形ＢＣＤＥが正方形で、底面と辺ＡＢは垂直です。
ここで、ＡＰ：ＰＤ＝1:1となるように点Ｐをとります。
底面の正方形の１辺の長さと辺ＡＢの長さが、ともに１２cmのとき、四角錐Ａ－ＢＣＤＥを、点Ｐ,Ｂ,Ｅを通る底辺で二つにわけます。頂点Ａを含むほうの体積はいくつか？
という問題です。

私は、まず、Ａ－ＢＣＤＥの体積が576cm^3と求め、次に、Ｐ－ＢＣＤＥの体積が288cm^3と求め、
Ｐ－ＡＢＥ＝Ａ－ＢＣＤＥ　－　Ｐ－ＢＣＤＥ＝288
と出しました。
しかし、回答が違うといわれました。
どこが変なのかアドバイスをいただけないでしょうか？また、正しい考え方も教えていただけないでしょうか？

回答No.1

neKo_deux · ベストアンサー

点Ｐは辺ＡＤ上とは限らないと言う事で良いのでしょうか？

> 点Ｐ,Ｂ,Ｅを通る底辺で二つにわけます。

「底辺」ですか？「面」の間違いでは？四角推を斜めに斬ると断面は四角のハズ。

--
上から見ると、ＡとＢが重なって、

Ａ
Ｂ―Ｅ
｜　 ｜
Ｃ―Ｄ

な配置です。

> 点Ｐ,Ｂ,Ｅを通る底辺で二つにわけます。

を行うと、Ａを含まない方の図形は、
底面ＢＣＤＥ
辺ＡＣを分けられた点Ｆ
辺ＡＤを分けられた点Ｇ(点Ｐに一致する？)

を頂点に持つ図形です。
こちら、頂点が６つですので四角推にはなりません。Ｐ－ＢＣＤＥの体積を適用すると×でしょう。

--
> 正しい考え方

正しいかどうかは置いといて、
Ａ:(0,0,6)
Ｂ:(0,0,0)
Ｃ:(6,0,0)
Ｄ:(6,6,0)
Ｅ:(0,6,0)
などとして、上で言う点Ｆ、点Ｇの座標を計算して…と言う方法が好みです。

お礼

nekoさんのおかげで解くことができました。
ありがとうございます。

補足

＞点Ｐは辺ＡＤ上とは限らないと言う事で良いのでしょうか？
説明不足ですいません。点Ｐは辺ＡＤ上でお願いします。

＞点Ｐ,Ｂ,Ｅを通る底辺で二つにわけます
こちらは、誤文です。
点Ｐ，Ｂ，Ｅ通る平面で二つにわけます
に訂正してお願いします。

なるほど、では、Ａを含むほうの体積を求めるには具体的にはどのような方法をとればよろしいのでしょうか？

回答No.2

hyeon

頂点Ａがある方の立体をＡ－ＢＰ’ＰＥとします。（Ｐ’はＡＣ上の点）このときＰ’がＡＣの中点になると思います。なぜならＢＣＤＥを底辺とする立方体を考えて、ＢＥと点Ｐ（立方体の中心）を通る平面を考えてください。多分そうです。
　このとき立体Ａ－ＢＰ’ＰＥの体積は底面積（ＢＰ’ＰＥ）×高さ（ＡＰ’）÷３になります。
　ＢＰ’ＰＥは上底Ｐ’Ｐ、下底ＢＥ、高さ６√２の台形です。その結果、立体の体積は３６cm＾3となると思います。整数の答えが出たので多分あってると思いますが、こんなに小さくていいのか心配です。

お礼

わざわざといてくださりありがとうございます。