図形問題

質問

数学の問題の解き方を教えて欲しいです。

図のように、底面が4√2cmの正方形で、高さ8cmの正四角錐O－ABCDがある。
辺OC上に、OP:PC＝3:1となるように点Pをとる。点Pを通り、平面ABCDに平行な平面で
正四角錐O－ABCDを切り、2つの立体に分ける。分けられた2つの立体のうち、正方形ABCDを含む立体をXとする。
このとき次の問に答えよ。
（問）正四角錐O－ABCDについて、線分APの長さを求めよ。

どのようにして求めるのですか？お願いします。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

点Oから正方形ABCDに下ろした垂線と正方形ABCDとの交点をQ、点Pから正方形ABCDに下ろした垂線と正方形ABCDとの交点をRとおくと、垂線との交点であることから点Q、Rは辺AC上に存在するため、△OQC∽△PRCです。
また、OC：PC＝4：1であることから、OQ：PR＝4：1ですので、PR＝2cmです。
さらに、辺ACは正方形ABCDの対角線ですので、三平方の定理からAC＝8cmであり、点Qはその中点ですからQC＝4cmです。
QC：RC＝4：1ですので、RC＝1cmであることから、RA＝7cmです。
△PRAは∠PRAが直角の三角形になりますので、三平方の定理から、
AP^2＝PR^2＋RA^2＝4＋49＝53
∴ AP＝√53　・・・答え

お礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.1

noname#215361

底面の対角線の長さは、三平方の定理から8cm
底面の対角線ACと対角線BDの交点をMとすると、三角形OAMと三角形OCMは、辺OAと辺OCを斜辺とする合同な直角三角形
三平方の定理から、辺OA=辺OC=4√5cm
三角形OACにおいて、余弦定理から、
8^2=2*（4√5）^2-2*（4√5）^2cosO
よって、cosO=3/5
また、三角形OAPにおいて、条件から辺PO=3√5cm
余弦定理から、
AP^2=（4√5）^2+（3√5）^2-2*（4√5）*（3√5）*3/5=53
以上から、AP=√53cm

お礼

ご回答ありがとうございます。