一つの前提から２つの結果は導けるのか

質問

別の質問で、次のような指摘をいただきました。

私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」

相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」

私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。

具体的に意見が一致しなかったのは、以下の事項についてです。

(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。

でもその人は、
a^1=0, a^2=0, a^3=0
と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。

数学的には、どちらが正しいのでしょうか？

該当する質問が終了してしまったので、こちらで質問致します。

回答No.6

selpo · ベストアンサー

前提Pから結論Q,Rが導けるとします。
P→Q
P→R
ただし、QとRは同値ではないとします。これ自体は別に特殊なことではありません。
たとえば、
P="nは6の倍数である"
Q="nは2の倍数である"
R="nは3の倍数である"
とすれば、P→QもP→Rも成立しますが、QとRは同値関係にはありません。
つまり、Pを仮定すればQもRも言えますが、
QとRを単独で考えると、これらの間の論理関係については何も言えません。

では、もしQとRが矛盾していたらどうでしょうか。矛盾、というのはどう定義されているかといいますと、
「ある命題Xが矛盾する、とは、X→YかつX→￢Yとなる命題Yが存在することである」
が標準的です(本当は、記号論理学における矛盾というのはただの命題の一つです)。それならば、QとRが矛盾する、というのは上の定義でX=Q∧Rとした場合と考えればよいでしょう。
P→Q、P→Q、Q∧R→Yですから、P→Yです。同様に、P→￢Yとなりますので、そもそもの前提Pが矛盾していたことがわかります。
つまり、ある前提から互いに矛盾する結論が言えるならば、そもそもの前提が矛盾していた、ということです。

とすると、論理というのは、"結果を導く過程"、すなわち推論規則を骨格として、いくつかの記号群を言語とし、公理という"大前提"から様々な結論を導くおこないですから、そもそもの公理が矛盾していては困るわけです。ですから、公理が矛盾していない、すなわち、公理から出発して互いに矛盾する結論に至ってしまうことがない、ということを"証明"しなくてはなりません。
これが示されれば、公理から出発して結論を導いていく、という行為が正当であると保証されます。逆に、これが言えなければ、得られた結論が意味のあるものかどうか(その否定も同時に導けてしまわないか)が怪しくなります。
しかし、残念なことに、公理の無矛盾性は公理からは証明不可能であることがわかっています(厳密には、自然数の体系を含む帰納的に枚挙可能で無矛盾な公理系は、自身の無矛盾性を証明できない→『ゲーデルの不完全性定理』)。ただし、ほかの公理系からなら証明できることもあり、実際、ZFCという体系(集合の理論)の下、ペアノ算術(通常の自然数の理論)の無矛盾性が示されているそうです。というわけで、我々は安心して数学ができるわけです(ZFCの無矛盾性は？という問題はあります…それを証明する体系を作っても、今度はその体系の無矛盾性が問われ、という無限ループに陥ります…)。

で、お話にあった

私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」
相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」

ですが、相手の言っていることを命題にすると、
P="x^2+2ax+b=0∧a^2>b"
Q="x=-a+sqrt(a^2-b)"
R="x=-a-sqrt(a^2-b)"
ということかと思いますが、これではP→QもP→Rも言えません。正しくは、
Q="x=-a+sqrt(a^2-b)∨x=-a-sqrt(a^2-b)"
として、P→Qです。つまり、一つの結果しか導けてはいません。

次に、a^pの話ですが、上では面倒なので、定義域、値域というのを考えませんでしたが、今度はきちんと考えます。
power(a,p)=a^pとして、powerの定義域は、a∈R、p∈Nとします(Rは実数、Nは1以上の自然数の集合)。値域はRです。このとき、power(a,p)は、pについて帰納的に定義されます。
(1)power(a,1)=a
(2)power(a,p+1)=a*power(a,p)
この(2)を、以下のように変形します。
(2')power(a,p)=power(a,p+1)/a
そして、p=0を代入すると、
(3?)power(a,0)=a/a=1
となります…なりませんね。

なぜなら、(2')(3?)の変形でa≠0を仮定していますし、p=0は値域に入っていません。
p=0が値域に入っていない、というのは、逆に考えれば、(2)がp=0でも成立するように、powerの値域を拡張した、とみることができます。
しかし、(2')(3?)でa≠0を仮定していますので、この拡張はa≠0でしか成功しません。というわけで、結局得られるのは、
(3)power(a,0)=1 (ただし、a≠0)
です。こうして、定義域に、"a≠0∧p=0"も含まれることになりました。

では、
"a^1=0, a^2=0, a^3=0と続くから、a^0=0 とすることも正しい"
を検証してみましょう。これは、power(a,p)=0とすることにあたります。…もうわかりますね。これは(2)は満たしますが、(1)は満たしません。つまり、power(a,p)の拡張とはみなせない、ということです。
よって、正しいのはpower(a,0)=1です。ただし、p=0のときはa≠0でしか定義されないことに注意しましょう。

お礼

素晴らしい回答ありがとうございました。
分かりやすさも程度も、申し分ありません。

> 結局得られるのは、
> (3)power(a,0)=1 (ただし、a≠0)

power(*,0)=0 という形のものは結局出てきませんね。

ところで、今更ながら、質問文に訂正があります。

相手の人が
>"a^1=0, a^2=0, a^3=0と続くから、a^0=0 とすることも正しい"
といったのは事実ではありません。私の記述上のミスです。
正しくは
0^1=0, 0^2=0, 0^3=0と続くから、0^0=0 とすることも正しい
と書くべきでした。お詫びして訂正致します。

それに従って分析を続けると

> これは(2)は満たしますが、(1)は満たしません。
> つまり、power(a,p)の拡張とはみなせない、ということです。

これは(1)(2)を満たします。
でも、0^0を求めるのに(1)と(2)のどちらも使っていないので、
つまり、power(a,p)の拡張とはみなせない、ということです。

となります。（私見です）

私のミスの訂正で少し長くなってしまいましたが、
本当にありがとうございました。

回答No.18

中村 拓男（@tknakamuri）

>「P(x)は真」を示しただけでは、解を求めたことにはなりません。
>x→P ではダメなのであって P→x も必要とします。

解説ありがとうございます。
この場合 x は解集合全体でしょうけど、まあ解と呼んでも間違いでは
ないでしょう。

で、肝心の「矛盾」の話はどうなったんでしょうか？
取り下げるんですよね？

既に詳細を＃１６に書きましたが

>(1) a^1 = a
>(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数
>
>私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。
>
>でもその人は、
>a^1=0, a^2=0, a^3=0
>と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。
>
>数学的には、どちらが正しいのでしょうか？

というような論争はした覚えがないし、質問の前半と後半で話がまるで繋がりません。

一度頭を冷やされたほうが良いと思います。

お礼

> で、肝心の「矛盾」の話はどうなったんでしょうか？
> 取り下げるんですよね？

あなたが正確に記憶してないのなら、その話をしても無意味です。
今回の質問内容は、質問文に書いたのがすべてですし、それ以外の話をする気はありません。
私には、あなたが本人かどうかも確認しようがないのですよ。

現在において、確認方法は争点が一致するかどうかです。
問題文に書いた内容に覚えがなければ、似たような話をしてた別の人かもしれませんね。

あなたは自分のことだと誤解したのかも。
あるいは２つの別々のやりとりが混ざったのかも。

いずれにせよ、前半と後半に誰も異論がなければ、これで終了です。

回答ありがとうございました。

回答No.17

alchool

No.11お礼欄について

＜その意味で、x=3 又は x=1 と答えることだけが、正しい結論なのです。

この理屈で言うと、

(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

から導かれる
｜a^0=1　　 (a=0以外の時）
｜a^0=不定　(a=0の時）

という答えは貴方の考えでは矛盾に相当するんでしょうか？
どうなんでしょう？
上記の考え方に沿えばこれはまとめて「ある一つの正しい結論」では無いのですか？
僕には矛盾はないように見えます。

回答が喧嘩腰に見えますが
そもそも0＾0の定義に関しては本来高校で習うことですし
そうでなくても検索すればすぐに出てくることです。
リテラシーがあればわざわざ質問を立てる様なレベルのことではありません。
つまりこれは単なる質問ではなく
「現代数学の定義に意義を申し立てる！」「現代数学は矛盾だらけ！」
みたいなそういう意思や訴えをぶつけるという意図があるんでしょうか。
有るなら有る無いなら無いで、はっきり明言してもらったほうが良いです。

お礼

> ｜a^0=1　　 (a=0以外の時）
> ｜a^0=不定　(a=0の時）

> という答えは貴方の考えでは矛盾に相当するんでしょうか？

併せて一つの結論ですので、矛盾はありません。
(1)(2)から得られることは、それがすべてです。

私はそれはそれで認めているんですが、別な見方が未定義となる「数学的な理由」として出されているから困るんです。
質問にも書きましたが
0^1=1, 0^2=0, 0^3=0,... よって 0^0=0 である
という理屈です。

wikiにも書いてあるポピュラーな考えですが、「数学的な理由」はありません。
理由どころか、数学においては標準的でもありません。

>「現代数学の定義に意義を申し立てる！」「現代数学は矛盾だらけ！」

そうしてる、と言えなくはないです。いや、してます。
(3) a^(-p)=1/(a^p) ただし a,pは実数
という定義を付け加えようかと考えてます。
べき乗における逆数の定義ですね。

これをテコにして、0^0=1 を主張しようかと。

これが成立しないと、0^-1=0 となってしまうようなものなのですが、
皆さん気にしませんね。

回答ありがとうございました。

回答No.16

中村 拓男（@tknakamuri）

「その人」です。

なんか元の話がないと、いいように書かれてしまうので

うろ覚えながら書きます。間違っていたらすいません。

p=正の整数。a=実数( 1), 2), 4) )
1) a^1 = a
2) a^(p+1) = a^p * a
3) a^(-p) = 1/a^p(a≠0)
4) a^p = a^p・a^0

だったかな。これを 1)、2)、4) で　p=0 を含め、
3) で p=0かつa=0 も含める拡張を施すと

p=0以上の整数。a=実数( 1), 2), 4) )
1) a^1 = a
2) a^(p+1) = a^p * a
3) a^(-p) = 1/a^p (p≠0の時 a≠0, p=0の時 aは全ての実数)
4) a^p = a^p・a^0

3) は 0^0=±1 4) は 0^0 = 0, 1 を要請するので

0^0=+1 のみが 1)～4) を満たす。

ここで 3) は恣意的だから抜いたらどうなるかという意見が出て

もし 3) a^(-p) = 1/a^p

の拡張は行わないなら、(つまり 0^0 の逆数は定義しないなら)

0^0=0, 1

で、解(結論)が複数あるのは「矛盾」というのが質問者様の主張。

以上です。

お礼

そうか。こういった誤解をしてたんだな。

「矛盾」の話をしてたのは、もっと細かい点の議論の時であり、
そこに出てくるのは(1)(2)だけです。

今回の質問とは直接関係ありませんので、訂正も行いません。

回答ありがとうございました。

回答No.15

Mathmi

問題の焦点は0^0が1となるか0となるか、更に言えば
「同一の命題に対して、共に誤りのない二通りの過程で導き出された答えが異なった場合、数学的にどちらが正しいか？」
という問だと解釈しました。

数学的には「定義されない」「どちらとも言えない」だと思います。

参考URL(頭のhを抜いています)
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/0の0乗
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/ゼロ除算

自分的には、与式にゼロ除算が混じっている(0^1=0^0*0→0^0=0^1/0)以上、数学的には計算不可能だと思いますが……。

お礼

残念ですが、質問した範囲を超えて、ここで 0^0 を議論するつもりはありません。

ただ、１つだけ言うと、「定義されない」のなら、前提を増やせば良いんです。
その点について、「数学的に不可能」とされる理由はありません。

回答ありがとうございました。

回答No.14

alchool

No.13です。

ていうか
wikiにNo.13で書いたことがほとんどそのまま書いてありますね
http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97
「定義されないことの説明」をどうぞ。

要は
どのような前提を置くか次第でゼロのゼロ乗はなんとでもなるということです。
よってゼロのゼロ乗は証明する性質のものではありません。
何らかの他の前提から証明するということは可能でしょうが、それは定義するという事を遠回しに表現したものに他ならず、結局は「私の前提こそ素晴らしい」という水掛け論にしかなりません。

お礼

> どのような前提を置くか次第で

それがまさしく問題ですね。
何を前提に置いて、何を結論として得たか、今の記述からはまるで分かりませんから。

回答ありがとうございました。

回答No.13

alchool

前提
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

ここに書かれている前提を全面的に受け入れるなら
前提(2)において「pは正の整数」であるからa^0に関しては前提を適用できません。
よってa^0=0という結果を導くことはできません。
同様に
a^0=1が成り立つという主張もできません。
与えられた前提(2)にはそもそもa^0という値自体に言及する資格が無いからです。
ここでa^0=0という結果もa^0=1という結果も導かれません。

またa^1 = aなる前提条件にa^1=0が成り立つと言う主張を組み合わせると
a=0のみが許されます。aを他の実数に広げることは許されません。
よってaを実数としてa^0=0が常に成り立つという主張はできません。

*勿論前提(1)(2)自体ははあらゆる実数aそれぞれで成立します。

今前提を書き換えてみます。
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p はゼロもしくは正の整数

a=0である時、0^1=0という定義が前提(1)を満たします。
ここに前提(2)を適用すると0^1=0^0*0という関係式になり
前提(1)と比べると「0＾0はどんな値でも良い（不定）」という結果が導かれます。
つまり0＾0は0でも1でも2でも-100として定義してもよいという事になります。
よってゼロのゼロ乗は「定義しない（できないわけではない）」という事なっています。
これは0/0が定義されないことと同じことです。

2の0乗はどのように定義すべきか→演算の規則性から1と定めるべき
0の0乗はどのように定義すべきか→演算の規則性からはどのようにも必然的には定まらない
これが数学的に正しいとされているものです。
「ゼロのゼロ乗」で検索してみてください。

矛盾の意味を理解しているでしょうか？
「同時に成立し得ない2つの条件」です。
0＾0の定義を0や1や2や-100に一度に定義しようとすればそれは矛盾です。
方程式の解x=1,x=2を「同時に」認めようとすればそれは矛盾です。
しかし解が定まっていない事、複数存在することそのものを矛盾とは呼びません。

ここで逆質問ですが
上記の例が何故「ある一つの前提から矛盾した2つの結果を導いた」ことになるのでしょうか？
（そもそもひとつの前提ではないようですが・・・）
この疑問は具体的に上記の例のどの部分を指しているのでしょうか。
実際にその別の質問のURLを貼ってもらえませんか？

お礼

> よってa^0=0という結果を導くことはできません。

ここはその通りです。

> よってaを実数としてa^0=0が常に成り立つという主張はできません。

これは、私の記述ミス(a=0でした）によって導かれてますが、a=0という限定があっても、主張はできませんね。

> 方程式の解x=1,x=2を「同時に」認めようとすればそれは矛盾です。

認めるのに時間は関係ありませんから、「共に」がしっくり来ます。
通常行われる「解はx=1」というのは、「x=1以外は方程式を満たさない」という意味を含むように思います。
解が定まらないのに「解はx=1」と答えるとバツを貰うのがその証拠です。
答えるのが解の１つという前提があれば、その限りではありませんが。

> しかし解が定まっていない事、複数存在することそのものを矛盾とは呼びません。

解が定まっていないと答えた後で、解は０だと答えても矛盾ではありませんか？

> ここで逆質問ですが

質問は消えてしまいましたから、示すことはできません。

回答ありがとうございました。

回答No.12

selpo

#6です。

書き忘れていました。先の方法ではpowerがa=0∧p=0には拡張できていません。a=0∧p=0の場合を考えましょう。(2)より、
power(0,1)=0*power(0,0)=0
ここで、power(0,1)=0なので、これはpower(0,0)の値にかかわらず成立します。よって、power(0,0)の値をいくつに定めようが、powerはa=0∧p=0の場合に拡張されてしまいます。
つまり、a∈R∧p∈Nで定義されたpower(p,n)を、a∈R∧p∈N∪{0}に拡張する方法は一意ではない、ということです。
しかし、特異性があるのはpower(0,0)のみですので、通常、0^0は定義されない(不定である)として、a≠0∧p=0までの拡張で済ませます。

------------------------
#10に

>> あと, (2) と (2') は同値じゃないので安直に (2') を持ち出すのはよくないと思う＞#6.

とありますが、私はそのすぐ後に、(2')はa≠0の仮定した場合でしか成立しないと書いたつもりです。同値じゃないのはわかっています。

お礼

> つまり、a∈R∧p∈Nで定義されたpower(p,n)を、a∈R∧p∈N∪{0}に拡張する方法は一意ではない、ということです。

そこで、条件を追加して一意にしようというのが、先の質問の主旨だったんですがね。（削除されちゃった）

ところで、「拡張」という行為の正当性はどこにあるのでしょう？
符号関数の場合、同じように「拡張」すると、ぜんぶ１になりますよね？

回答ありがとうございました。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

「そのひと」です。混乱してきたので補足。

元々の話は

条件P を満足する解x, yがあって

P(x)=真 かつ P(y)=真 かつ x≠y

なら、矛盾か　という話です。

もちろん矛盾ではありません。解が複数あるだけ。

お礼

> 前提(x-3)(x-1)=0
> 結論 x=3 又は x=1

結論を「又は」で続けちゃうと、結論は１つになっちゃいますので、
別々だと見なしますね。

では、前提となる方程式の解は x=3 かというと違うんですね。
同様に x=1 も違います。
普通に x=p と答えた時は、「x が p以外では前提を満足しない」という意味を含んでいます。
解の１つを示せ、としてあれば、別ですけど。

なので、「P(x)は真」を示しただけでは、解を求めたことにはなりません。
x→P ではダメなのであって P→x も必要とします。
その意味で、x=3 又は x=1 と答えることだけが、正しい結論なのです。

回答ありがとうございました。

回答No.10

Tacosan

勘違いされるといけないので補足... というか, 自分の勘違いに対する訂正というか, なんというか. 最初から言葉の違いを認識しておけよ＞俺.

まず「(1) と (2) の帰結として a^0 の値を決定すること」はできない. その意味では「これを前提として求めることはできない」は正しい.

一方「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから、a^0=0 とする」については, 個人的には賛成できない (「他の値でもいいでしょ」っていわれると困るので). ただし
「(1) と (2) は, a^0 = 0 としても満たされる」
という表現なら納得するし, その解釈において「a^0=0 とする」ことも正しい (もちろんほかの値にすることも否定はしない). じっと見ればわかるけど, これは「(1) と (2) を前提として a^0 を求めている」わけじゃないんだな.

よ～するに「そもそもやってる作業が違う」ってだけの話, かもね.

あと, (2) と (2') は同値じゃないので安直に (2') を持ち出すのはよくないと思う＞#6.

お礼

> (「他の値でもいいでしょ」っていわれると困るので).

そうですよね。

> じっと見ればわかるけど, これは「(1) と (2) を前提として a^0 を求めている」わけじゃないんだな.

だから、＃６のお礼にて、これは拡張とはみなせないという表現を使いました。
元々何でも良いという結論が出ているんだから、当然の帰結です。

ただ、心配点としては、0^0=0 とすることに数学的な何らかの正当性があると思う人が多いことですね。
好き嫌いで言ってるなら良いんですが、数学的に考えてる場合には、０と考えるべきではありません。

回答ありがとうございました。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>でもその人は、
>a^1=0, a^2=0, a^3=0
>と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。

「そのひと」は私です。

条件に、a=0 が落ちてますね。

0^0 が存在すると仮定すると、 1 である必然性があるかという
話です。

3^0 = 1, 2^0 = 1, 1^0 = 1 だから 0^0 = 1

という候補と

0^3 = 0, 0^2 = 0, 0^1 = 0 だから 0^0 = 0

という候補のどっちがよろしいかという話。

複数の可能性があること自体が矛盾であるというのが
質問者さんの主張です。
もっと指数法則の条件があったんですが
省略されちゃってますね。もう思い出せません(^^;

お礼

> 0^3 = 0, 0^2 = 0, 0^1 = 0 だから 0^0 = 0

> どっちがよろしいかという話。

軍配は明らかかと。
だから、そこは遠慮しておきます。

この質問の主題でもないし。

回答ありがとうございました。