原始根の問題です。

質問

整数aがpの原始根であるための必要十分条件は（a/p)=-1であることを示せ。という問題です。（ちなみにこの（a/p)=-1のかっこはルシャンドルの記号です。）

回答には
　　p=2^(2n)　+1とおく。3がpの原始根ならば、（3/p)=-1
原始根でなければ、p-1の約数は2べきだから(3/p)=1
ところで、相互法則から、(3/p)=(p/3),
p≡(-1)^(2n)　+1≡2(mod3)より、
(p/3)=(2/3)=-1
よって原始根になる。
　と書いてあったのですが、
なんで、p=2^(2n)　+1と最初におくのかわかりません。
これってフェルマー素数におくっていうことですよね？
ちなみに3はフェルマー素数の原始根となるということの
証明もいまいちよくわかりません。
この回答あってますか？
もっとわかりやすい回答があったら教えてください。
お願いします。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

一般には(a/p)=-1でもaがpの原始根であるとは限りません。
おそらくその問題は
aがフェルマー素数pの原始根であるための必要十分条件は(a/p)=-1である
だったのではないでしょうか。
実際に
5は13の原始根ではありませんが、(5/13)=-1 です。